AB小波的MRA及雙正交AB小波.pdf

1、20世紀(jì)80年代以來，小波分析在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中迅速發(fā)展，這主要因為兩方面原因：第一，它有著深刻的理論背景；第二，它在工程中的應(yīng)用十分廣泛，比如信號分析，圖像處理等。但是在實踐中我們也發(fā)現(xiàn)，小波分析在處理二維甚至更高維信號的突變處如邊緣時，效果并不是十分理想，這主要是因為高維小波是一維小波通過張量積的方式得到的，方向性較差，而信號的邊緣等突變處包含了高度各向異性的對象。為了克服小波分析的這種局限性，研究者們發(fā)現(xiàn)了許多具有方向性的小波。

2、　　 2004年，Gitta Kutyniok，Demetrio Labate，Wang-Q Lim等等研究者們發(fā)現(xiàn)了復(fù)合伸縮小波（wavelets with composite dilations），由于該小波的構(gòu)造基于控制伸縮及方向的矩陣A，B。所以稱其為AB小波。AB小波中，有一類為正交小波，以二維情形為例，Demetrio Labate等建立了有三個母函數(shù)生成的L2（R2）的正交AB多小波。由一個母函數(shù)生成的AB小波稱為She

3、arlet。已有定理指出，Shearlet不能構(gòu)成L2（R2）的標(biāo)準(zhǔn)正交基。
　　 AB小波不僅具有很好的方向性，能準(zhǔn)確檢測出信號突變處的方位，如邊緣部分，而且相應(yīng)的級數(shù)展開能有效表示信號的信息，因此，AB小波近年來受到很大的關(guān)注，有關(guān)這類小波的數(shù)學(xué)理論也在不斷地建立與完善。
　　 研究小波的一個重要工具是多尺度分析，即MRA，但是由于不同的AB小波由不同數(shù)量和類型的母函數(shù)生成，所以不能統(tǒng)一建立AB小波的多尺度分析理論。

4、對于三個母函數(shù)生成的正交AB小波以及Shearlet，Gitta Kutyniok，Demetrio Labate等給出了相應(yīng)的MRA，對于其它類型的AB小波，目前還沒有建立MRA理論。
　　 正交小波的優(yōu)越性是明顯的，但如前所述，Shearlet缺少正交性，而由于前述正交AB小波有三個母函數(shù)生成，由此增加了其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。在不能建立正交小波的情況下，人們自然考慮建立雙正交小波，因此建立雙正交AB小波理論是非常有意義的。