可積系統(tǒng)的多孤立子解及其符號(hào)計(jì)算研究.pdf

1、本文以符號(hào)計(jì)算為工具利用N重Darboux陣方法、可對(duì)角化的Darboux陣方法、Hirota直接方法和Wronskian行列式技巧研究了可積系統(tǒng)的多孤立子解以及解的性質(zhì).另外利用李代數(shù)的半直和思想和變分恒等式構(gòu)造了耦合KdV方程族的可積耦合系統(tǒng)及雙Hamilton結(jié)構(gòu).
　　第一章是與本文相關(guān)的研究背景,簡要綜述了孤立子與可積系統(tǒng)理論的發(fā)展進(jìn)程.針對(duì)性地介紹了近年來國內(nèi)外在孤立子與可積系統(tǒng)方面的研究成果和發(fā)展?fàn)顩r.第二章中,利用

2、N重Darboux陣方法,首次構(gòu)造了一類等譜問題統(tǒng)一形式的Darboux變換,應(yīng)用所得到的Darboux變換于聯(lián)系廣義Broer-Kaup-Kupershmidt與Boussinesq-Burgers(BKK-BB)譜問題的孤立子方程族中的不同方程,獲得了它們的形式各異的新N-孤立子解,其中包括了一些多峰狀的雙向孤立子解.將N重Darboux陣方法與約化、分解技巧相結(jié)合,獲得了一系列非線性演化方程的N孤立子解和N-complexiton

3、解.我們利用AKNS譜問題Darboux變換的一種約化,求得復(fù)mKdV方程的多孤立子解;利用分解技巧,獲得一個(gè)(3+1)維非線性演化方程的多種解和(2+1)維KP方程的新多孤立子解.第三章擴(kuò)展可對(duì)角化的Darboux陣方法并將它應(yīng)用到一個(gè)新譜問題、Boiti-Tu譜問題和一種廣義Kaup-Newell譜問題上,成功構(gòu)造出這些譜問題的Darboux變換,獲得了一個(gè)無色散可積耦合方程的N-孤立子解,一個(gè)廣義耦合mKdV方程的一系列孤立波解和

4、一個(gè)廣義導(dǎo)數(shù)非線性Schr(o|¨)dinger方程的一系列周期波解.基于可對(duì)角化的Darboux陣方法,我們給出了構(gòu)造Darboux變換的一種算法.并在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple12上實(shí)現(xiàn)了該算法.第四章推廣了Hirota直接方法,將Hirota直接方法求解過程中的實(shí)參數(shù)推廣到共軛復(fù)數(shù)范圍,給出了單、雙complexiton解和N-complexiton解的一般表達(dá)式.通過對(duì)參數(shù)的適當(dāng)選取,N-complexiton解可退化到標(biāo)準(zhǔn)Hir

5、ota直接方法的N-孤立子解.我們給出了一系列非線性演化方程的非奇異的新多complexiton解.第五章介紹了求解非線性演化方程的Wronskian行列式技巧.在本章中,我們給出一個(gè)(3+1)維非線性演化方程的廣義Wronskian解公式,其中包括了positon解、negaton解、soliton(孤立子)解、complexiton解以及相互作用解.我們還計(jì)算出該(3+1)維非線性演化方程的雙Wronskian解公式,利用它給出了該