第7講matlab的符號計算

1、第七講 MATLAB的符號計算,所謂符號計算是指在運算時,無須事先對變量賦值,而將所得到結(jié)果以標準的符號形式來表示。MathWorks公司以Maple的內(nèi)核作為符號計算引擎（Engine），依賴Maple已有的函數(shù)庫，開發(fā)了實現(xiàn)符號計算的兩個工具箱：基本符號工具箱和擴展符號工具箱。,一、符號計算基礎(chǔ),一、符號計算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量參與符號運算的對象可以是符號變量、符號表達式或符號矩陣。符號變量要先定義，后引用?？梢杂胹ym函

2、數(shù)、syms函數(shù)將運算量定義為符號型數(shù)據(jù)。引用符號運算函數(shù)時，用戶可以指定函數(shù)執(zhí)行過程中的變量參數(shù)；若用戶沒有指定變量參數(shù)，則使用findsym函數(shù)默認的變量作為函數(shù)的變量參數(shù)。,1、sym函數(shù) sym函數(shù)的主要功能是創(chuàng)建符號變量，以便進行符號運算，也可以用于創(chuàng)建符號表達式或符號矩陣。用sym函數(shù)創(chuàng)建符號變量的一般格式為： x = sym(‘x’)其目的是將’x’創(chuàng)建為符號變量，以x作為輸出變量名

3、。每次調(diào)用該函數(shù),可以定義一個符號變量。,一、符號計算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,【例1】作符號計算：a,b,x,y均為符號運算量。在符號運算前，應先將a,b,x,y定義為符號運算量,一、符號計算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,a=sym(‘a(chǎn)’); %定義‘a(chǎn)’為符號運算量，輸出變量名為ay =2/bb=sym(‘b’);x=sym(‘x’);y=sym(‘y”); [x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+

4、b*y-5,x,y) %以a,b為符號常數(shù)，x,y為符號變量即可得到方程組的解：x =3/ay =2/b,一、符號計算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,【例2】已知一復數(shù)表達式 z=x+i*y, 試求其共軛復數(shù),并求該表達式與其共軛復數(shù)乘積的多項式。 為了使乘積表達式x^2+y^2非負，這里，把變量x和y定義為實數(shù)。x=sym(‘x’,’real’);y=sym

5、(‘y’,’real’);,一、符號計算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,z=x+i*y; %定義復數(shù)表達式conj(z); %求共軛復數(shù)expand(z*conj(z)) %求表達式與其共軛復數(shù)乘積的多項式ans =x^2+y^2若要去掉’x’的屬性,可以使用下面語句 x = sym(‘x’,’unreal’) 將’x’創(chuàng)建為純格式的符號變量。,一、符號計算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,2、syms函數(shù)syms函數(shù)的

6、功能與sym函數(shù)類似。syms函數(shù)可以在一個語句中同時定義多個符號變量，其一般格式為： syms arg1 arg2 …argN 用于將rg1, arg2,…,argN等符號創(chuàng)建為符號型數(shù)據(jù)。,一、符號計算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,（二）默認符號變量在數(shù)學表達式中，一般習慣于使用排在字母表中前面的字母作為變量的系數(shù)，而用排在后面的字母表示變量。例如： f=ax2+bx+c表達式中的a,b,

7、c通常被認為是常數(shù)，用作變量的系數(shù)；而將x看作自變量。,一、符號計算基礎(chǔ),例如，數(shù)學表達式 f=xn g=sin(at+b)根據(jù)數(shù)學式中表示自變量的習慣，默認a,b,c為符號常數(shù)，x為符號變量。若在MATLAB中表示上述表達式，首先用syms 函數(shù)定義a，b，n，t，x為符號對象。在進行導數(shù)運算時，由于沒有指定符號變量，則系統(tǒng)采用數(shù)學習慣來確定表達式中的自變量，默認a,b,c為符號常數(shù)，x，t為

8、符號變量。即 ： 對函數(shù)f求導為：df/dx 對函數(shù)g求導為：dg/dt,一、符號計算基礎(chǔ),（二）默認符號變量,為了了解函數(shù)引用過程中使用的符號變量個數(shù)及變量名，可以用findsym函數(shù)查詢默認的變量。該函數(shù)的引用格式為： findsym（f,n）說明：f為用戶定義的符號函數(shù)， n為正整數(shù)，表示查詢變量的個數(shù)。 n=i,表示查詢i個系統(tǒng)默認變量。n值省略時表示查詢符號函

9、數(shù)中全部系統(tǒng)默認變量。,一、符號計算基礎(chǔ),（二）默認符號變量,【例3 】查詢符號函數(shù) f=xn g=sin(at+b)中的系統(tǒng)默認變量。syms a b n t x %定義符號變量f=x^n; %給定符號函數(shù)g=sin(a*t+b);findsym(f,1) %在f函數(shù)中查詢1個系統(tǒng)默認變量ans= x表示f函數(shù)中查詢的1個系統(tǒng)默認變量為x。,一、符號計算

10、基礎(chǔ),（二）默認符號變量,（三） 符號表達式符號表達式由符號變量、函數(shù)、算術(shù)運算符等組成。符號表達式的書寫格式與數(shù)值表達式相同。例如,數(shù)學表達式 其符號表達式為： 1+sqr(5*x))/2注意，在定義表達式前應先將表達式中的字符x定義為符號變量。,一、符號計算基礎(chǔ),（四） 生成符號函數(shù)將表達式中的自變量定義為符號變量后，賦值給符號函數(shù)名，即可生成符號函數(shù)。例如有一數(shù)學表達式：,一、符號計算基礎(chǔ),其用符號表

11、達式生成符號函數(shù)fxy的過程為： syms a b c x y %定義符號運算量 fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2 %生成符號函數(shù)生成符號函數(shù)fxy后，即可用于微積分等符號計算。,一、符號計算基礎(chǔ),（四） 生成符號函數(shù),【例4】定義一個符號函數(shù) fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ，分別求該函數(shù)對x、y的導數(shù)和對x的積分。syms a b c x y

12、 %定義符號變量fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2； %生成符號函數(shù) diff(fxy，x) %符號函數(shù)fxy對x求導數(shù)ans =2*a*x/c^2diff(fxy， y) %符號函數(shù)fxy對y求導數(shù) ans =2*b*y/c^2 %符號函數(shù)fxy對x求積分int(fxy， x) ans =1/c

13、^2*(1/3*a*x^3+b*y^2*x),一、符號計算基礎(chǔ),（四） 生成符號函數(shù),二、微積分,（一） 微積分函數(shù)1.求極限 函數(shù)limit用于求符號函數(shù)f的極限。系統(tǒng)可以根據(jù)用戶要求，計算變量從不同方向趨近于指定值的極限值。該函數(shù)的格式及功能：,二、微積分,limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f（x）函數(shù)的極限值。 limit(f,a)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。由于沒有指定符

14、號函數(shù)f（x）的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f（x）的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量，既變量x趨近于a。limit(f)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。符號函數(shù)f（x）的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。limit(f,x,a,'right')：求符號函數(shù)f的極限值。'right'表示變量x從右邊趨近于a。l

15、imit(f,x,a,'left')：求符號函數(shù)f的極限值。'left'表示變量x從左邊趨近于a。,二、微積分,【例5】求極限syms x； %定義符號變量f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3； %確定符號表達式w=limit(f) %求函數(shù)的極限w = -1/2,二、微積分,2. 微分函數(shù)d

16、iff函數(shù)用于對符號表達式s求微分。該函數(shù)的一般引用格式為： diff(s,’v’,n),二、微積分,說明： 應用diff（s）沒有指定微分變量和微分階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求一階微分。 應用diff（s，‘v’）或diff（s，sym（‘v’）） 格式，表示以v為自變量，對符號表達式s求一階微分。 應用diff（s，n）格式，表示對符號表達式s求n階微分，n為正

17、整數(shù)。 應用diff（s，‘v’，n）diff（s，n，‘v’） 格式，表示以v為自變量，對符號表達式s求n階微分。,【例6】求導數(shù)：x = sym('x'); %定義符號變量t = sym('t');diff(sin(x^2)) %求導運算ans =2*cos(x^2)*x,二、微積分,3．積分函數(shù)積分函數(shù)int（s ，v

18、，a，b)可以對被積函數(shù)或符號表達式s求積分。其引用格式為： int（s ，v，a，b)說明：應用int（s）格式，表示沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求一階積分。應用int（s，v）格式，表示以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求一階不定積分。應用積分函數(shù)時，如果給定 a、b兩項，表示是進行定積分運算。a、b分別表示定積分的下限和上限。不指定積分的下限和

19、上限表示求不定積分。,二、微積分,【例7】求下述積分。求積分：syms xint(1/(1+x^2)) ans =atan(x),二、微積分,4. 級數(shù)(級數(shù)求和)級數(shù)求和運算是數(shù)學中常見的一種運算。例如： f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn函數(shù)symsum可以用于此類對符號函數(shù)f的求和運算。該函數(shù)的引用時，應確定級數(shù)的通項式s，變量的變化范圍a和b。該函數(shù)的引用格式為：

20、 symsum(s, a,b),二、微積分,【例8】求級數(shù)的和:鍵入：1/12+1/22+1/32+1/42+ ……syms k symsum(1/k^2,1,Inf) %k值為1到無窮大ans =1/6*pi^2其結(jié)果為：1/12+1/22+1/32+1/42+ ……=π2/6,二、微積分,三、簡化方程表達式,1.因式分解factor函數(shù)的功能為：把多項式S分解為多個因式，各多項式的系數(shù)均為有理數(shù)。格式為：

21、 factor(s),三、簡化方程表達式,【例9】將表達式(x^9-1)分解為多個因式。syms xfactor(x^9-1)ans =(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1),2.嵌套將符號多項式s用嵌套形式表示，即用多層括號的形式表示。Horner函數(shù)可以實現(xiàn)此功能。該函數(shù)的格式為： horner(s),三

22、、簡化方程表達式,【例10】將表達式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。syms xhorner(x^3-6*x^2+11*x-6)ans =-6+(11+(-6+x)*x)*x,四、解方程,解方程函數(shù)的格式為：solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN) 或 solve(expr1,expr2,...,exprN) 其功能為：求解代數(shù)方程組expr1,e

23、xpr2,...,exprN的根，未知數(shù)為var1,var2,...varN。說明：若不指明符號表達式expr1,expr2,...,exprN的值，系統(tǒng)默認為0。例如給出一個表達式x^2-3*x-8,則系統(tǒng)將按x^2-3*x-8=0進行運算；,四、解方程,【例11】解代數(shù)方程：a*x2-b*x-6=0syms a b xsolve(a*x^2-b*x-6) ans = [ 1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2)