微分方程解析近似解的符號計算研究.pdf

1、本文基于數(shù)學(xué)機(jī)械化思想，借助于符號計算軟件，以非線性方程為對象，系統(tǒng)地研究了適用于強(qiáng)非線性問題的解析近似方法:Adomian分解方法(ADM)和同倫分析方法(HAM)的應(yīng)用和機(jī)械化實現(xiàn)。
　　 第一章是與本文相關(guān)的研究背景。簡要綜述了計算機(jī)代數(shù)和孤立子理論的發(fā)展進(jìn)程，針對性地介紹了近年來解析近似方法的研究成果和現(xiàn)狀。
　　 第二章改進(jìn)了Adomian分解方法，能夠獲得修正Korteweg-de Vries(mKdV)方程

2、和Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的雙孤子解。通過引入自變量變換和行波變換，將Degasperis-Procesi(DP)方程短波模型化為常微分方程，應(yīng)用Adomian分解方法求解之，獲得其閉合形式的解析解，再經(jīng)過反變換，能夠獲得其環(huán)狀孤子解。以上結(jié)果表明了Adomian分解方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。對Adomian分解方法進(jìn)行了推廣，解決了方程中離散變量不同于連續(xù)方程中的變量問題，并與Pade近似結(jié)

3、合，能夠獲得幾個經(jīng)典的非線性微分差分方程組的孤子解，顯著提高了方程解析近似解的精度。同時，我們還討論了Pade有理近似中出現(xiàn)的偽極點問題，給出了合適選擇Pade近似階數(shù)的指導(dǎo)原則。獲得的解析近似解與精確解符合得很好，表明了Adomian分解方法對復(fù)雜強(qiáng)非線性問題的有效性。
　　 第三章通過引入自變量變換和行波變換，將偏微分方程化為常微分方程，通過同倫分析方法求解之，再經(jīng)過反變換，能夠獲得DP方程短波模型的環(huán)狀孤子解和Camass

4、a-Holm( CH)方程短波模型的尖狀孤子解，結(jié)果表明了同倫分析方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。對同倫分析方法進(jìn)行了推廣，解決了方程中離散變量不同于連續(xù)方程中的變量問題，改進(jìn)了同倫分析方法選擇初始猜測解的方法，能夠獲得離散修正KdV方程的亮孤子解，獲得的解析近似解與精確解符合得很好，表明了同倫分析方法對復(fù)雜強(qiáng)非線性問題的有效性。
　　 第四章在計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple上實現(xiàn)了Biazar提出的求解Adomian多項式的算