自由表面問題和分片檢驗(yàn)函數(shù)的數(shù)學(xué)方法研究.pdf

1、力學(xué)的發(fā)展不斷提出數(shù)學(xué)問題，力學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合促進(jìn)了它們自身的發(fā)展和新領(lǐng)域的誕生。如何利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)解決力學(xué)問題已經(jīng)成為力學(xué)和數(shù)學(xué)工作者共同的目標(biāo)。另外利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)解決歷史遺留的數(shù)學(xué)問題也為人們所關(guān)注。本文本著利用新知識(shí)解決問題的思想，根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，從三個(gè)方面分別討論了以下力學(xué)問題：
　　 一求解滲流自由面：有自由面的滲流問題是工程中經(jīng)常遇到的問題，自由表面要同時(shí)滿足水頭函數(shù)和壓力條件而其位置不能預(yù)先給定，它的互補(bǔ)

2、和非線性性質(zhì)給問題的求解帶來很大的困難，而且表現(xiàn)為非光滑的形式。本文根據(jù)近些年來求解可動(dòng)邊界的經(jīng)驗(yàn)和非光滑分析的發(fā)展，建立了求解滲流自由面的數(shù)學(xué)模型，提出了求解滲流自由面的有限元混合不動(dòng)點(diǎn)法和非光滑牛頓法。
　　 基于有自由面滲流問題的高斯點(diǎn)法，建立了求解滲流問題的非光滑非線性方程組模型和求解此類問題的混合不動(dòng)點(diǎn)法，此類方法屬固定網(wǎng)格法，只需劃分一次網(wǎng)格，不需要對(duì)數(shù)據(jù)做任何近似處理，完全利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算確定滲流自由面。本文討論

3、了非光滑方程組解的存在性和不動(dòng)點(diǎn)算法的收斂性。通過結(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)插值繪制出滲流自由面。算例結(jié)果表明，該方法簡(jiǎn)單且收斂速度快。本文對(duì)不動(dòng)點(diǎn)法的收斂性分析為迭代法的收斂提供了理論依據(jù)。
　　 在前面建立的非光滑方程組數(shù)學(xué)模型和固定網(wǎng)格法基礎(chǔ)上，利用廣義導(dǎo)數(shù)的概念給出了求解滲流自由面的一種新方法----非光滑阻尼牛頓法，該法是對(duì)非光滑方程組求導(dǎo)，適當(dāng)?shù)奶幚韽V義導(dǎo)數(shù)矩陣使其非奇異，利用非光滑牛頓法求解。
　　 二變系數(shù)KdV方程解析解

4、：淺水波問題原本屬于帶自由表面波的傳播問題，原則上可以按上面的方法建立非光滑非線性方程組的數(shù)學(xué)模型。淺水波理論經(jīng)過長(zhǎng)期研究，按攝動(dòng)展開已經(jīng)建立了一套淺水波的非線性偏微分方程理論，本文旨在深入研究非線性偏微分方程表示的淺水波方程，首次開展空間變系數(shù)非線性偏微分方程解析解研究，在求解變水深KdV方程時(shí)，引入非線性變換，求出了一類變水深KdV方程的解析解。
　　 三有限元增強(qiáng)型分片檢驗(yàn)：Mindlin板和圓柱薄殼有限元法一直沒有完整的