模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用

1、1,第十一章 模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用,§1 模糊聚類分析(參考內(nèi)容),§2 模糊模型識(shí)別(參考內(nèi)容),2,模糊數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)方法研究和處理具有“模糊性”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。所謂的模糊性主要是指客觀事物差異的中間過(guò)渡界線的“不分明性”。如儲(chǔ)層的含油氣性、油田規(guī)模的大小，成油地質(zhì)條件的優(yōu)劣，圈閉的形態(tài)，巖石的顏色等。這些模糊變量的描述或定義是模糊的，各變量的內(nèi)部分級(jí)沒有明顯的界線。 地質(zhì)作用是復(fù)雜的，對(duì)其產(chǎn)生的地質(zhì)現(xiàn)象有些可

2、以采用定量的方法來(lái)度量，有些則不能用定量的數(shù)值來(lái)表達(dá)，而只能用客觀模糊或主觀模糊的準(zhǔn)則進(jìn)行推斷或識(shí)別。,前言,3,1965年美國(guó)控制論專家 L.A.Zadeh 提出這一概念后，模糊數(shù)學(xué)得到迅速發(fā)展并應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，地學(xué)種主要用于礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)，各種地質(zhì)現(xiàn)象的分類、識(shí)別、決策和模擬。,在此介紹油氣勘探中常用的模糊聚類分析和模糊識(shí)別。,4,§1 模糊聚類分析,模糊聚類分析是在模糊相似矩陣的基礎(chǔ)上，對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行定量分類的方法。,主

3、要內(nèi)容,數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化建立模糊相似矩陣動(dòng)態(tài)聚類,,一、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,1.原始數(shù)據(jù) 設(shè)論域U是n個(gè)被分類對(duì)象構(gòu)成的集合,每個(gè)對(duì)象又有m個(gè)描述對(duì)象特征的變量,它們的觀測(cè)值構(gòu)成原始數(shù)據(jù)矩陣:,5,2.極差正規(guī)化,求模糊矩陣時(shí)要求將數(shù)據(jù)壓縮到區(qū)間[0,1]上，為此對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行極差正規(guī)化處理。,極差是變量觀測(cè)值的最大值與最小值之差，即,極差正規(guī)化是變量的每個(gè)觀測(cè)值減去觀測(cè)值的最小值再除以極差。變換公式為：,6,由上可知，對(duì)原始數(shù)據(jù)正規(guī)化

4、處理以后，變量最大值為1，最小值為0，即新數(shù)據(jù)在區(qū)間[0,1]內(nèi)。,二、模糊相似矩陣,模糊相似矩陣是進(jìn)行模糊聚類的基礎(chǔ)。下面介紹建立模糊相似矩陣的常用方法。,7,(1)數(shù)量積法,1.相似系數(shù)法,顯然|rij|∈[0,1] ,若rij<0, 令rij’=(rij+1)/2,則rij’∈[0,1]。,其中,矢量或點(diǎn): Xj=(xj1 xj2 … xjm) Xi=(xi1 xi2 … xim),i = j,i≠j,i , j

5、=1,2,…,n,8,(2)夾角余弦法 見相似性度量聚類中的相似系數(shù)。,(3)相關(guān)系數(shù)法 見相似性度量聚類中的相關(guān)系數(shù)。,符號(hào) ∧和∨分別表示兩個(gè)元素取小和取大。,(4)最大最小法,例如:,9,10,(5)算術(shù)平均最小法,11,(6)幾何平均最小法,12,2.距離法,上述(4)、(5)、(6)三種方法要求xij≥0,否則,要進(jìn)行適當(dāng)變換。,(1)絕對(duì)值倒數(shù)法,適當(dāng)選取M，使得0≤rij≤1。,i = j,i≠j,i ,

6、j=1,2,…,n,(2)歐氏距離見相似性度量聚類中的相似系數(shù)。,13,建立模糊相似矩陣的其他方法,就不再介紹了。,(3)切比雪夫距離,三、聚類,1.模糊等價(jià)矩陣,給定U上的一個(gè)模糊關(guān)系Rij=[rij]n×n, 若它滿足: (1)自反性(rij=1 )； (2)對(duì)稱性(rij=rji )； (3)傳遞性( )； 則稱

7、R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)矩陣。,14,,式中“○”表示矩陣的合成運(yùn)算，類似矩陣乘法運(yùn)算，但要將元素的相乘改為求最小值、相加改為求最大值。例如:,矩陣乘法運(yùn)算,矩陣○運(yùn)算,15,相似性度量的相關(guān)、相似系數(shù)矩陣滿足自反性和對(duì)稱性，但不一定滿足傳遞性。對(duì)于傳遞性,可先計(jì)算R○R(記作R2),然后看其是否滿足傳遞性。若不滿足,經(jīng)過(guò)R○R=R2, R2○R2=R4 …運(yùn)算,可將R改造成滿足傳遞性的模糊等價(jià)矩陣。,2.模糊等價(jià)矩陣的λ截矩陣,設(shè)R=

8、[rij]n×n是模糊等價(jià)矩陣，對(duì)任意λ∈[0,1]，稱 Rλ=[rij(λ)]n×n為R=[rij]n×n的λ截矩陣，其中:,,,16,將R中≥0.6的元素改為1,其它元素改為0,矩陣RR叫做R矩陣的截矩陣(λ≥0.6),17,3.分類 由模糊等價(jià)矩陣的λ截矩陣可知,當(dāng)rij=1時(shí),i與j應(yīng)為同類,否則為異類。 讓?duì)擞纱蟮叫∽兓?，可形成?dòng)態(tài)聚類圖。,18,對(duì)

9、于不同的λ∈[0,1]，可得不同的分類方案，從而形成一種動(dòng)態(tài)聚類圖。這對(duì)全面了解對(duì)象的分類情況是比較形象和直觀的。但有的實(shí)際問題需要選擇某個(gè)閥值λ，確定一個(gè)具體的分類，這就是確定閥值λ的問題。,二、最佳閥值λ的確定,在動(dòng)態(tài)聚類過(guò)程中，調(diào)整λ的值以得到適當(dāng)?shù)姆诸?。另外，也可由熟悉專業(yè)的專家確定閥值λ，得到閥值λ水平上的分類。,1.按實(shí)際需要確定,19,設(shè)對(duì)應(yīng)于λ的分類數(shù)為r，第j類的樣品數(shù)為nj , j類的樣本記為:,2.用F-統(tǒng)計(jì)量確定

10、λ的最佳值,第j類的聚類中心為向量:,第j類中第k個(gè)變量的平均值:,20,定義F-統(tǒng)計(jì)量為:,表征了類與類之間的距離,,表征類內(nèi)樣品間的距離,,F越大,表明類間的差異越大,分類效果就越好。,21,假設(shè)各類差異不明顯，對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平α，查Fα(r-1, n-r)分布表，得臨界值Fα，若F>Fα,則認(rèn)為各類之間有明顯的差異。,F服從自由度為r-1，n-r的F分布。,,22,簡(jiǎn)單講,模型識(shí)別就是根據(jù)研究對(duì)象具有的某些特征對(duì)其進(jìn)行識(shí)別

11、并歸類。如采集的植物標(biāo)本識(shí)別它屬于哪個(gè)綱目;又如撥打電話號(hào)碼識(shí)別對(duì)應(yīng)的電話機(jī)。這種模型識(shí)別具有2個(gè)本質(zhì)的特征:,§2 模糊模型識(shí)別,一、基本概念,①事先已知若干標(biāo)準(zhǔn)模型(稱為標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)), 模型具有明顯的界線;,1. 模型識(shí)別,②有待識(shí)別歸類的對(duì)象，并且它所屬的類必然是若干標(biāo)準(zhǔn)模型之一。,23,模糊模型識(shí)別是指標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中的模型是模糊的(模型間沒有明顯的界線)。如據(jù)電測(cè)或氣測(cè)資料,建立的儲(chǔ)層含油氣性(油層、油氣層、油水同層、

12、氣層、含水油層、干層等)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),又如由不同沉積相巖樣觀測(cè)值構(gòu)成的巖樣標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),它們中的模型都是模糊的。因此,根據(jù)測(cè)井信息或者巖樣的觀測(cè)值判斷鉆穿儲(chǔ)層的含油氣性、巖樣的沉積相是一個(gè)模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題。,對(duì)于這類模型識(shí)別問題，可據(jù)模型的界線對(duì)待識(shí)別對(duì)象進(jìn)行歸類，是標(biāo)準(zhǔn)集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)集的識(shí)別。,2. 模糊模型識(shí)別,24,為了解決模糊集的識(shí)別問題，需要一個(gè)度量模糊集與標(biāo)準(zhǔn)模糊集靠近程度的指標(biāo)，這就是下面要介紹的隸屬度和貼近度。,(1)

13、模糊向量及其內(nèi)外積 若0≤ai≤1(i=1,2,…,n),則稱向量a=(a1,a2,…,an)為模糊向量。設(shè)a，b是模糊向量，則分別稱:,二、隸屬度和貼近度,1.隸屬度,25,例如設(shè):,0.1 0.5 0 0.6,0.2 0 0.7 0.3,0.2 0.5 0.7 0.6,,取小→0.2,0.1 0.5 0 0.6,0.2 0 0.7 0.3,0.1

14、 0 0 0.3,,取大→0.3,a,b,26,(2)模糊向量集合族,(3) 隸屬度,設(shè)U上有n個(gè)模糊子集 ,其隸屬函數(shù)為: 當(dāng) 為模糊向量集合族， 為普通向量時(shí)，則：,為 對(duì) 的隸屬度。,設(shè) 是論域U上的n個(gè)模糊子

15、集，稱以模糊集 為分量的模糊向量為模糊向量集合族,記為:,27,應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù),但它是目前尚未完全解決的問題。我國(guó)的汪培莊教授提出的隨機(jī)集落影理論對(duì)于相當(dāng)一部分模糊集的隸屬函數(shù)的客觀實(shí)在性給出了滿意的解釋,基于這一理論的模糊統(tǒng)計(jì)方法是確定一類模糊集隸屬度的有效方法?，F(xiàn)確定隸屬函數(shù)的方法有模糊統(tǒng)計(jì)法、指派法、借用已有尺度法等。,基于不同考慮,隸屬度也有其他的定義形式,如：,28,

16、(4)最大隸屬度原則,原則Ⅰ: 設(shè)論域 U=｛x1, x2, …, xn｝上有m個(gè)模糊子集:,(m個(gè)模型)構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)，若對(duì)x0∈U，有i0 ∈｛1,2,…,m｝ 使得,則認(rèn)為x0隸屬于 。,29,則應(yīng)首先錄取xk 。,原則Ⅱ: 設(shè)論域U上只有1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型 ，現(xiàn)有n個(gè)待識(shí)別對(duì)象x1, x2,…, xn∈U ，若其中的xk 滿足:,為便于理解，下面給出兩個(gè)應(yīng)用的例子：,30,原則Ⅰ的例子。

17、 在論域U=[0,100](分?jǐn)?shù))上確定三個(gè)代表學(xué)習(xí)成績(jī)的模集糊 =“優(yōu)”， =“良”， =“差”。當(dāng)某學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?8分時(shí)，該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)撛u(píng)為優(yōu)、良、還是差？,為此，要先建立模糊集 隸屬函數(shù)。有人用指派法建立了論域U上模糊集 的隸屬函數(shù)為:,31,32,把x=88分別代入上述三個(gè)隸屬函數(shù)，得: 據(jù)原則Ⅰ，88分相對(duì)三個(gè)模型應(yīng)隸屬于 ，即可評(píng)為優(yōu)。,33,原則Ⅱ

18、的例子,設(shè)論域U=｛x1, x2, x3｝(三名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)),在U上確定以一個(gè)模糊集 =“優(yōu)”，若三個(gè)學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)分別為x1=70, x2=80, x3=90現(xiàn)據(jù)英語(yǔ)成績(jī)從三名學(xué)生中招聘一人做翻譯，應(yīng)優(yōu)先招聘誰(shuí)？,由計(jì)算結(jié)果可知，第三位同學(xué)的成績(jī)最靠近優(yōu)。據(jù)原則Ⅱ應(yīng)首先聘任第三位同學(xué)。,把三個(gè)同學(xué)的英語(yǔ)成績(jī)分別代入隸屬函數(shù):,得:,34,(2)擇近原則 設(shè)論域U上有m個(gè)模糊子集

19、 構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù) 為待識(shí)別的對(duì)象。若存在i0 ∈｛1,2,…,m｝使得:,2.貼近度及其擇近原則,(1)貼近度 貼近度是描述模糊集之間彼此靠近程度的指標(biāo),是我國(guó)學(xué)者汪培莊教授提出的,由于研究的問題不同,貼近度也有不同的定義形式,它的一般定義為:,設(shè)A，B是論域U上的兩個(gè)模糊子集，則稱,為A與B的貼近度。,35,待識(shí)別對(duì)象歸入Ai0類。,(3)實(shí)用貼近度 實(shí)際工作中實(shí)用的幾

20、個(gè)貼近度計(jì)算公式：,36,例1 茶葉的模型識(shí)別 論域U={茶葉}, 其等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),三、應(yīng)用,待識(shí)別的茶葉樣品為B,衡量茶葉質(zhì)量指標(biāo)為:條索,色澤,凈度,湯色,香氣和滋味。模型庫(kù)與樣品的有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。,貼近度計(jì)算公式:,37,,,,,,,,,,,按擇近原則:,38,貼近度計(jì)算改用：,上述兩種計(jì)算貼近度公式，計(jì)算數(shù)值不同，但歸類果一樣，那一種更好？,茶葉樣品,39,(1) 建立標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù) 在試油證

21、實(shí)的油層、油水同層、含油水層、油氣層、干層等各取若干個(gè)樣品，每個(gè)以樣品都有相同的7項(xiàng)氣測(cè)指標(biāo)，它們都是模糊變量 。各氣測(cè)指標(biāo)的平均值構(gòu)成論域U=｛x1,x2,…,x7｝, xi是論域U上的模糊子集。,例2 識(shí)別儲(chǔ)層含油氣性,論域U={儲(chǔ)層含油氣性}，儲(chǔ)層含油氣性可分為油層、油水同層、含油水層、油氣層干層等，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)為:X=(X1,X2,X3,X4)。待識(shí)別含油氣性的儲(chǔ)層為Y, 試據(jù)貼近度判定Y的含油氣性。,40,(2) 對(duì)待識(shí)別儲(chǔ)