幾類微分方程數(shù)值算法研究.pdf

1、山東大學(xué)博士學(xué)位論文幾類微分方程數(shù)值算法研究姓名：王同科申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：博士專業(yè)：計(jì)算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：袁益讓2002.3.20山東大學(xué)博士學(xué)位論文和 方 程 的 混 合 有 限 體 積 元 方 法 . 昊 微 在! 2 1 ] 中 使 用 三 角 剖 分 及 外 心 對(duì) 偶 剖 分 給出 了 解雙 調(diào)和 方程的 基 于C i a r l e t - R a v i a r t 變 分 原 理的 混合廣義 差 分法， 理論分析 部分采 用 了

2、! 2 6 〕 中 的 有 關(guān) 思 想 李 榮 華 教 授 ， 陳 仲 英 教 授 在! 2 2 」 中 采 用[ 2 7 ] 中 的 思 想 ， 對(duì) 以上證明方法做了 修改， 通過(guò)引 人 N e u m a n n 投影， 得到了 一階收斂階誤差估計(jì)結(jié)果. 結(jié)合廣 義差分 方 法的 特點(diǎn)，[ 2 1 ] , [ 2 2 」 中 的 證明 方法還可以 進(jìn)一步完善. 本節(jié)仍 然基 于C i a r l e t - R a v i a r

3、t 混合 變分原 理， 針對(duì) 矩 形剖分， 給出 了 雙 調(diào)和方程的 混合 有限體積元格式， 理論分析部分嚴(yán)格按照混合元格式的特點(diǎn)， 不再引 入 N e u m a n n 投影， 仍然導(dǎo)出了 類似的 誤差估計(jì) 由 于混合有限體積元格式仍為鞍點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)出的線性代數(shù)方程組， 普通的 迭代方法難以 湊效， 本節(jié)還給出了一類自 適應(yīng) U z a w a 迭代 求 解 方 法 ， 并 對(duì) 模 型 方 程 進(jìn) 行 了 實(shí) 際 計(jì) 算 ， 得 至 。

4、 了 令 人 滿 意 的 結(jié) 果 少 / 一第 二 章 考 慮 發(fā) 展 方 程 的 有 限 體 積 元 方 法 及 其 交 替 方向 求 解 技 術(shù)./ ' 2 . 1 是 引 言 部分， 介紹了 有限 差分 方法及有限 元 方 法中 的 交替方向 求解方法 ' 2 . 2 采 用 ' 1 . 2中 的離散思想， 給出了 求解一維拋物型 方程的高精度有限體積元方法， 證明了 所得格 式 按 離 散L 2 模 收

5、 斂 ， 且 收 斂 階 為O ( ' t 2 + h 3 ) . ' 2 . 3 討 論 二 維 及 三維 拋 物 型 方 程的 交 替 方向 有 限 體 積 元 方 法 . 本節(jié) 使 用D o u g l a s J . J r . 和T . D u p o n t ( [ 3 4 ] ) 關(guān) 于 交替 方向 有限元方法的 離散思想， 將有限 體積元格式寫成張量積形式， 由 此可將有限體積元格式轉(zhuǎn)化為一系列的

6、一維間 題， 實(shí) 現(xiàn)交替方向 求解. 本節(jié)給出了兩種實(shí)現(xiàn)交替 方向 求 解 的 途 徑 ， 其 一 借 用 了 差 分 方 法 中 的D o u g l a s 格 式( [ 3 3 ] ) ， 其 二 使 用 局 部 一 維格 式( [ 2 3 , 2 4 ] ) . 需 要 特 別 指 出 的 是， 本 節(jié)所 給的 局 部 一 維 格 式 對(duì) 差 分 方 法中 的 局 部一維格式作了 進(jìn)一步的推廣， 適用于帶有非齊次項(xiàng)及非齊次第一

7、邊值問(wèn) 題， 具有非常 好 的 計(jì) 算效果 本 節(jié)又 進(jìn)一 步 給出 了 三 種 具體的 計(jì)算格 式， 它們 是基 于雙 ( 三 ) 線 性 插 值的 離 散 格 式 ， 基于 局 部 雙 ( 三 ) 二次 插 值 的 離 散格 式 和 基于 雙 ( 三 ) 二 次 雙 ( 三 ) 三 次混合 插值的 離 散格 式. 本 節(jié) 還 對(duì)以 上格 式給出了 收 斂 性或穩(wěn)定 性分析， 前 兩種格 式采用的 是離散 L 2 模誤 差 估 計(jì) 方

8、法， 分析表明 這兩 種格式按離散 L 2 模 具有二階收斂精度. 第三種格式為高精度有限體積元格式， 采用以上分析方法有一定 的 困 難， 僅對(duì)其做了F o u r i e r 穩(wěn)定 性分 析， 結(jié) 果 表明， 該格 式絕 對(duì)穩(wěn)定 虧 2 . 4 給出了 三維雙曲 型方程的 交替方向 有限體積元方法. 本節(jié)僅討論了局部一維格式， 得到了 與拋物型方程類似的 誤差分析結(jié)果. 本章每一節(jié)都給出了 數(shù)值算例， 均得到了 令 人滿 意的 計(jì)算

9、結(jié)果. 算 例 表明 ， 本章 所 給格 式 是局部一維格式， 具有非常好的計(jì)算效果， 尤其適用于大規(guī)模科學(xué)與 工程式 ， 錢 別 計(jì)算. 少第 三 章 對(duì) 對(duì) 流 擴(kuò) 散 方 程 的 迎 風(fēng) 格 式 及 特 征 差 分 格 式 做 了 進(jìn) 一 步 的 修 正 ， 構(gòu) 造 出 了 新 型 迎 風(fēng) 格 式 及 新 型 特 征 差 分 格 式 夭 本 章 所 給 新 型 格 式 對(duì) 對(duì) 流 項(xiàng) 的 離 散 具 有 二 階 精度， 對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)的