多小波的逼近階與平衡性研究.pdf

1、多小波(Multiwavelet)是指由兩個(gè)或兩個(gè)以上函數(shù)作為尺度函數(shù)生成的小波。與多小波相聯(lián)系的是一個(gè)多重多分辨分析(MRAr)。稱函數(shù)向量φ(t)=[φ0(t)，φ1(t),...，φr-1(t)]T，φi(t)∈L1(R)，(i=0,...，r-1)是一個(gè)r重多分辨分析的r重尺度函數(shù)(簡(jiǎn)稱多尺度函數(shù))，如果對(duì)Bj=span{φi,j,k(x):0≤i＜r，κ∈Z}，j∈Z滿足：1)…()Vj+1()Vj()Vj-1()…，2)∩j

2、∈ZVj={0}，-∪j∈ZVj=L2(R)，3)f(x)∈j()f(2x)∈j+1,j∈Z，4)f(x)∈V0()f(x-κ)∈V0，5){φi,j,k0≤i＜r，κ∈Z}構(gòu)成Vj子空間的Riesz基，其中φi,j,k(x)：=2j/2φi(2-jx-κ)。相應(yīng)地，V0在V-1中的正交補(bǔ)子空間W0由r重多小波ψ(t)=[ψ0(t)，ψ1(t),...，ψr-1(t)]T，ψi(t)∈L1(R)，(i=0，...，r-1)的整平移構(gòu)成。

3、MRAr的多尺度函數(shù)滿足矩陣加細(xì)方程：φ(t)=∑κ∈ZHκφ(2t-κ)，多小波函數(shù)滿足：ψ(t)=∑κ∈ZGκφ(2t-κ)，多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)是傳統(tǒng)標(biāo)量尺度函數(shù)和小波函數(shù)的自然推廣。由矩陣加細(xì)方程的某些矩陣性質(zhì)，多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)可同時(shí)具有正交性、對(duì)稱性、緊支撐性和高逼近階。這是多小波較之單小波的優(yōu)越之處，正因?yàn)榇?，多小波的研究與應(yīng)用日益受到科技界、工程界的重視。 通過對(duì)小波及多小波基礎(chǔ)理論的回顧，本文首先介紹了V

4、.Strela提出的兩尺度相似變換(TST)提高尺度函數(shù)逼近階的方法，并在此方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造不同的變換矩陣Mr(ω)，將有限元多尺度函數(shù)及GHM尺度函數(shù)的逼近階提高到任意整數(shù)，同時(shí)保持緊支與對(duì)稱性。由于TST不能保持原函數(shù)的正交性，對(duì)構(gòu)造出的GHM型尺度函數(shù)，又給出了與之雙正交且具有一定逼近階的函數(shù)族，使構(gòu)造出的尺度函數(shù)族具有更高的應(yīng)用價(jià)值。 其次，本文研究了“平衡性”，這一多小波具有的特殊性質(zhì)。由于逼近性與平衡性有著天然的聯(lián)

5、系，而與兩者相關(guān)的雙無窮陣卻并不相同(列向量排序正好相反)，這不利于考察兩者之間的具體關(guān)系。為了討論的方便，本文將多小波的逼近性與用于定義平衡性的雙無窮陣聯(lián)系，得到基于此矩陣的多尺度函數(shù)具有p階逼近的充要條件，以及一個(gè)檢驗(yàn)尺度函數(shù)逼近階時(shí)易于使用的定理。在這些定理的基礎(chǔ)上，用簡(jiǎn)短的證明過程得出了具有p階平衡的多小波系統(tǒng)，相應(yīng)的多尺度函數(shù)必是p階逼近的。在引入了多小波不同于單小波的插值條件后，利用同樣的定理，得到具有p階逼近的多尺度函數(shù)，