一類時間分數(shù)階拋物型方程反問題的磨光解法.pdf

1、我們一直在研究經(jīng)典的時間分數(shù)階拋物型方程的正問題，對該類問題的研究也比較完善.但是，對于該類問題反問題的研究不是很多，在許多的工程問題中經(jīng)常會運用到此類反問題.例如，得知物理內(nèi)部的溫度、密度等問題，對于此類問題只能通過某一時刻的測量值來反演.本文主要研究的是0＜γ＜1的時間分數(shù)階反問題:{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x,t)∈(0,π)×(0，T],u(0，t)=u(π，t)=0，t∈[0，T]，u(x，T）=g(

2、x）， x∈[0，π].(0.1)這里我們定義的是Caputo意義下的分數(shù)導數(shù)即:dγ/dtγf(t）:=1/Γ(1-γ)∫t0df(s)/ds ds/(t-s)γ.
　　我們的反問題是:由測量值u(·，T)得到u(x，t），t∈[0，T）.這個問題是不適定的:如果所研究問題的解存在，它不連續(xù)依賴已知的數(shù)據(jù).因此我們需要對該問題進行正則化處理.
　　首先，我們假設初始值u(x，0)滿足先驗條件‖u(x，0)‖Hp0(0，π)

3、≤ E，p＞0.此外，設gδ(x)是最終測量值g(x)的擾動數(shù)據(jù)，并且兩者之間滿足‖gδ(x)-g(x)‖L2(0，π)≤δ.因此我們需要考慮下面的反問題{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x，t)∈(0，π)×（0，T]，u（0，t)=u（π，t）=0， t∈[0，T]，u(x,T)=gδ(x), x∈[0，π].(0.2)
　　對于上述問題的研究到目前為止不是很多，最初在文獻[23]中，作者運用quasi-re

4、versibility方法構(gòu)造的正則化格式;另一關(guān)于該問題的研究出現(xiàn)在文獻[24]中，作者用投影的方法構(gòu)造正則化格式.在本文中，我們提出了用磨光法來構(gòu)造正則化格式，即{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x，t)∈(0，π)×(0，T]，u(0，t)=u(π，t)=0， t∈[0，T]，u(x，T)=ψα*g(x)， x∈[0，π].(0.3)并且給出了在‖·‖Hp0先驗信息下的估計形式，同時給出了正則化參數(shù)α的選取方式，