一類非線性四階拋物方程的發(fā)展綜述.pdf

1、本文概括地?cái)⑹隽艘活惙蔷€性四階拋物型偏微分方程發(fā)展的起源及物理背景，研究四階非線性拋物型方程所面臨的理論上的困難以及現(xiàn)在這方面的發(fā)展成果。四階拋物方程首先是在量子半導(dǎo)體模型中提出的。到現(xiàn)在為止只是在比較特殊的初邊值條件之下得到了一些結(jié)果。本文重點(diǎn)列舉了當(dāng)初值條件較弱而邊值條件為常數(shù)時(shí)方程ut=-(u(logu)xx)xx的研究成果。解決這類問題的方法一般是進(jìn)行指數(shù)變換，對新的變量得到與之對應(yīng)的方程，然后對時(shí)間半離散化，令時(shí)間區(qū)間長度趨于

2、0，取極限，從而得到解的存在性。對于高維(維數(shù)為2或3)方程組的情形在適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件下也得到了一些結(jié)果。對于這種情況證明的方法是類似的。用算子半群解決上述方程的初值問題也是一種有效的方法，在初值條件較好(如：H1(Ω)函數(shù))的條件下，文章[4]用算子半群理論證明了上述方程存在局部古典解，如果初值函數(shù)足夠好(導(dǎo)數(shù)足夠小)，解還是全局的。而對于解的大時(shí)間性態(tài)，即時(shí)間t趨于∞時(shí)是否解也存在極限并且解以什么樣的速度收斂于極限函數(shù)的問題，一般是