關于Poisson幾何里的Dirac約化.pdf

1、Poisson幾何中的—個非常重要的結(jié)果和應用，即通過利用矩映射等進行Poisson結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)的約化進而得到對稱力學系統(tǒng)的約化。這些約化方法在其可應用的系統(tǒng)類型上有一定的局限性，比如其不能應用于不完整約束系統(tǒng)等。而Dirac結(jié)構(gòu)恰可以用于分析此類以及其它一些微分與代數(shù)方程等系統(tǒng)的相關問題。另外，關于Dirac結(jié)構(gòu)的討論在引入了特征對和對偶特征對等概念以后變得更加清晰、簡潔。因為引入Dirac結(jié)構(gòu)的—個基本目的即應用于一些力學系統(tǒng)的約化

2、，本文詳細地討論了Dirac結(jié)構(gòu)的約化問題，包括其在Poisson流形以及Jacobi流形等的約化中的重要應用，重點利用了Dirac結(jié)構(gòu)的特征對以及對偶特征對的工具，從而避開了討論矩映射的存在性以及容許函數(shù)等一些復雜概念的介入。 本文在李雙代數(shù)胚上，引入了Dirac結(jié)構(gòu)的特征對并給出對偶特征對的概念，利用對偶特征對，給出李雙代數(shù)胚double的極大迷向子叢是Dirac結(jié)構(gòu)的充要條件。其次，分別利用特征對與對偶特征對，將可約Dir

3、ac結(jié)構(gòu)分為第一類可約與第二類可約。在此基礎上，建立Poisson流形的兩類對應約化定理。這些約化理論繞開了傳統(tǒng)的借助于矩映射等復雜工具進行Poisson作用與Poisson流形、預辛流形等的約化，并且明確指出約化Poisson流形以及預辛流形上的約化Poisson結(jié)構(gòu)以及預辛結(jié)構(gòu)與原流形上的對應結(jié)構(gòu)之間的關系，使得約化問題解決的更加簡潔、直觀，同時給出了對應的應用和例子。 關于Jacobi雙代數(shù)胚，類似地引入了Jacobi-D

4、irac結(jié)構(gòu)及其特征對和對偶特征對的概念。利用對偶特征對，給出Jacobi雙代數(shù)胚double的極大迷向子叢是Jacobi-Dirac結(jié)構(gòu)的充要條件。利用特征對與對偶特征對，將可約Jacobi-Dirac結(jié)構(gòu)分為第一類與第二類可約.在此基礎上，建立Jacobi流形的兩類對應約化定理，并給出了約化Jacobi流形上的約化Jacobi結(jié)構(gòu)的具體形式以及其與原流形上的Jacobi結(jié)構(gòu)之間的對應關系。這些約化過程，繞開了利用容許函數(shù)或其它代數(shù)工