Bergman空間上的von Neumann代數(shù)、約化子空間和相關(guān)的幾何分析.pdf

1、本文中,我們主要研究了單位圓盤D上的Bergman空間L2a(D)上乘法算子Mφ的約化子空間和由它生成的vonNeumann代數(shù)W*(φ),以及相關(guān)的幾何分析。由于Bergman空間是由面積測度定義的解析函數(shù)空間,其理論和復(fù)分析、復(fù)幾何之間有著密切的聯(lián)系。由von Neumann的二次換位定理,W*(φ)″=W*(φ),從某種意義上講,研究W*(φ)就等價(jià)于研究其換位子代數(shù)V*(φ)(△=)W*(φ)′的結(jié)構(gòu),注意V*(φ)也是一個(gè)vo

2、n Neumann代數(shù)。由此,我們發(fā)現(xiàn)了Bergman空間上的算子論和幾何、群論之間的一些內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)φ是一個(gè)稀疏Blaschke積時(shí),運(yùn)用解析延拓和局部逆的技巧,我們建立了V*(φ)中酉算子的表示,這一結(jié)果推廣了Sun關(guān)于有限Blaschke積的工作[Sunl]。結(jié)合這些事實(shí)與算子論、復(fù)分析的工具。我們證明了當(dāng)B是階數(shù)不超過6的有限Blaschke積時(shí),M8的極小約化子空間的數(shù)目至多為degB。當(dāng)degB=2和degB=3,4時(shí),相應(yīng)

3、的結(jié)果分別由[SW,Zhu]和[GSZZ,SZZ1]獲得。
　　 進(jìn)一步,我們考慮了V*(φ),其中φ是解析覆蓋映射。我們給出了所有和Mφ交換的酉算子的表達(dá),并由此證明了:對每個(gè)從單位圓盤D到復(fù)平面有界區(qū)域Ω上解析覆蓋映射φ,von Neumann代數(shù)V*(φ)交換當(dāng)且僅當(dāng)Ω的基本群π1(Ω)交換;當(dāng)且僅當(dāng)Ω全純同構(gòu)于圓盤、去心圓盤、圓環(huán)之一。除了上面三種情形,我們還發(fā)現(xiàn)在所有其他情形下,V*(φ)總是一個(gè)Ⅱ1型因子,且W*(φ

4、)是一個(gè)Ⅱ∞型因子。更深入地,我們考慮了φ為解析正則分支覆蓋映射的情形,并發(fā)現(xiàn)V*(φ)的結(jié)構(gòu)與Riemann軌形(orbifold Riemann surface)及群論密切相關(guān)。我們獲得了一些深入的結(jié)果,比如存在大量的無限Blaschke積B,使得MB的約化子空間格有連續(xù)統(tǒng)的勢,這和有限Blaschke積的情形是完全不同的。
　　 我們還考慮了多圓盤Dn中具有H∞-延拓性質(zhì)的解析簇。作為應(yīng)用,我們給出了D3中三點(diǎn)Pick-N