高階Runge-Kutta方法的構(gòu)造及研究.pdf

1、常微分方程在自然科學(xué)的很多學(xué)科領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，如自動控制、電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性以及化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等都可以轉(zhuǎn)化為求解常微分方程或研究常微分方程解的性質(zhì).當(dāng)前,計算機技術(shù)的快速發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了有力的工具.然而，只有一些特殊類型的常微分方程初值問題能夠得到用解析式表示的精確解,大量的常微分方程初值問題很難得到其精確解的解析式,有的甚至根本無法用解析式來表示，因此我們只能依賴于

2、數(shù)值方法，以獲得常微分方程初值問題的數(shù)值解. Runge-Kutta方法是求解常微分方程初值問題的經(jīng)典方法。
　　本研究考慮構(gòu)造求解常微分方程初值問題的高階隱式辛Runge-Kutta方法和8級6階顯式對稱Runge-Kutta方法。研究了高階隱式對稱辛Runge-Kutta方法的構(gòu)造.對于高階隱式對稱辛Runge-Kutta方法的構(gòu)造,我們利用了Hairer和Wanner教授提出的W-變換理論,通過在變換矩陣中選取不同的參數(shù)a,

3、盧和7的值,我們不僅得到了經(jīng)典的Gauss方法、LobattoⅢA、LobattoⅢB、LobattoⅢC、LobattoⅢE、LobattoⅢS,而且我們得到了一類新的隱式對稱辛Runge-Kutta方法。構(gòu)造的LobattoⅢS X方法的辛性質(zhì)可以由Hairer和Wanner教授給出的相關(guān)結(jié)論直接得到。研究了8級6階顯式對稱Runge-Kutta方法的構(gòu)造.對于高階顯式Runge-Kutta方法構(gòu)造的困難性和復(fù)雜性可以從表格（2-1

4、)輕易地得出。為了克服已有高階顯式方法構(gòu)造的困難性，從8級顯式Runge-Kutta方法的一般形式出發(fā)，借助Runge-Kutta方法的一般伴隨方法、辛伴隨方法(新定義的)給出了一種構(gòu)造8級6階顯式對稱Runge-Kutta方法的新途徑.首先，我們利用8級顯式Runge-Kutta方法（4.2.1)及其辛伴隨方法（4.2.4)得到相應(yīng)的8級對稱辛方法(4.2.5)(詳見表4-2),并在A*=AS*及積分公式(b，c)對稱的條件下，我們給

5、出了簡化階條件B(p)(p≤6),C(1)和D⑴的化簡,再利用得到的C(1)和D(1)的等價性,證明了對稱辛方法(4.2.5)對應(yīng)簡化階條件CS*(1), DS*(1),CS*(2)和DS*(2)的等價關(guān)系.其次,我們利用積分公式(b，c)的對稱性、A*=AS*、C⑴<=>D(1)、CS*⑴<=>DS*(1)及CS*(2)<=>DS*(2)的相關(guān)結(jié)論,對8級6階顯式對稱Runge-Kutta方法需要滿足的33個階條件分三步進行了相應(yīng)的簡

6、化.通過這些簡化過程,我們得到8級6階顯式對稱Runge-Kutta方法需要滿足階條件(4.2.55)式.然后，我們將C2, C3, C4, b2, b3,a43(或a42)看作自由變量,并通過求解階條件(4.2.55)式,得到8級6階顯式對稱Runge-Kutta方法的Butcher表中系數(shù)a32,a42(或a43),a52, a53,a54,a62,a63,a72和b4的表達式.最后,我們利用(4.2.6),(4.2.11),(4.