高階對角隱式辛Runge-Kutta方法研究及應用.pdf

1、Hamilton系統(tǒng)在物理和生命科學等領(lǐng)域，特別是經(jīng)典力學和天體力學等領(lǐng)域有著廣泛的應用.過去的數(shù)十年中，國內(nèi)外諸多學者研究了系統(tǒng)本身特性，并根據(jù)這些特性構(gòu)造數(shù)值方法.這其中，美國科學家Ruth和我國科學家馮康分別于1983年和1985年針對Hamilton系統(tǒng)獨立提出了行之有效的數(shù)值方法，馮康先生稱之為辛幾何算法，之后辛算法被廣泛研究，并取得了豐碩的研究成果.
　　本文主要研究一類對角隱式辛Runge-Kutta方法高階數(shù)值格式

2、的構(gòu)造及其應用.通過該類型數(shù)值格式本身性質(zhì)和根樹理論的研究，我們獲得了5階和對稱6階對角隱式辛Runge-Kutta方法的獨立的階條件，在此基礎(chǔ)上，我們構(gòu)造了求解極值問題的模型，并通過設(shè)計程序求解極值問題給出了一組6級5階的對角隱式辛Runge-Kutta數(shù)值格式.對稱的數(shù)值格式在長時間計算中有著天然的優(yōu)勢，結(jié)合6階對角隱式對稱辛Runge-Kutta方法的階條件，同樣通過設(shè)計程序求解極值問題，我們給出了一個7級6階對稱的對角隱式辛Ru

3、nge-Kutta數(shù)值格式.在數(shù)值試驗中，我們比較了新得到的數(shù)值格式和文獻中已有的同階的數(shù)值格式在計算精度和計算效率方面的差別，結(jié)果顯示，我們給出的數(shù)值格式有著計算精度高且計算量少的優(yōu)點.另外，通過數(shù)值試驗，新的數(shù)值格式的收斂階也得到了驗證.在對角隱式辛Runge-Kutta方法的可達階方面，我們分別研究了一般的對角隱式辛Runge-Kutta方法和對稱的對角隱式辛Runge-Kutta方法的級數(shù)和階之間的關(guān)系，限于已完成的工作，所討論

4、的數(shù)值格式的最高階為6階.
　　在對角隱式辛Runge-Kutta方法的數(shù)值穩(wěn)定性方面，針對不同的試驗性方程，我們研究了對角隱式辛Runge-Kutta方法的A-穩(wěn)定性和P-穩(wěn)定性，證明了當收斂階p≤2時，該類型的數(shù)值格式是A-穩(wěn)定的，而當收斂階p≥3時，該類型的數(shù)值格式不是A-穩(wěn)定的;在P-穩(wěn)定性方面，所有該類型的數(shù)值格式都是P-穩(wěn)定的.
　　文章的最后研究了對角隱式辛Runge-Kutta方法的應用，針對振蕩Hamilt