極值及相關對象的漸近性分析.pdf

1、在本文中，我們主要研究了隨機序列與隨機過程的極值及相關對象的一些漸近性問題及應用，主要分為如下五個方面。
　　 首先，我們研究了一類隨機刪失情形下極值的極限問題。對于獨立同分布的隨機序列，得到了其極值與隨機刪失情形下的極值之差的極限分布以及幾乎處處中心極限定理，同時，我們還討論了平穩(wěn)的弱相依與強相依的高斯序列的一些相應情形。所得這些結(jié)論進一步推廣了Mittal(1978)[38]以及Kudrov和Piterbarg(2007)[

2、39]的結(jié)論。
　　 其次，我們研究了一類平穩(wěn)高斯序列極值與部分和共同的幾乎處處收斂問題。當平穩(wěn)高斯序列的相關系數(shù)函數(shù)滿足一定的正則條件時，我們得到了被平均值中心化后的最大值與部分和的共同的幾乎處處中心極限定理，同時，在比較弱的條件下，我們證明了高斯序列最大值與部分和的共同的幾乎處處中心極限定理。所得結(jié)論推廣了Dudzi（n）ski(2003，2008)[57][56]的結(jié)論。
　　 再次，我們系統(tǒng)地研究了平穩(wěn)高斯過程的

3、極值與其在離散化后的極值的漸近關系。對于離散化，我們將其分為三種情形，即稀疏型，Pickands型以及稠密型。當高斯過程的相關系數(shù)函數(shù)r(t)滿足limt→∞r(nóng)(t)logt=r∈(0，∞)時，我們證明了平穩(wěn)高斯過程極值與其在稀疏型和Pickands型離散化后的極值之間是漸近弱相關的；而與其在稠密型離散化后的極值之間是漸近強相關的。當相關系數(shù)函數(shù)r(t)滿足limt→∞r(nóng)(t)logt=∞時，我們證明了平穩(wěn)高斯過程極值與其在離散化后的極

4、值之間是漸近一致的。所得結(jié)論完善了Piterbarg(2004)[41]的結(jié)論。
　　 第四，我們研究了一類加權高斯過程的破產(chǎn)模型，得到了相應的有限時破產(chǎn)概率的漸近估計，同時獲得了破產(chǎn)模型有限時破產(chǎn)概率的一致上界和下界。我們的模型包含了分數(shù)布朗運動，sub-分數(shù)布朗運動，bi-分數(shù)布朗運動以及自相似的高斯鞅。我們把所獲得的結(jié)論應用到經(jīng)典的風險模型，得到了帶加權高斯干擾的破產(chǎn)模型的有限時破產(chǎn)概率的漸近估計。最后，我們給出了幾個例子

5、說明我們的模型的重要性。我們的模型推廣了Debicki和Sikora(2011)[67]的模型。
　　 最后，我們研究了一類非平穩(wěn)的高斯隨機場的極值的極限問題。當協(xié)方差函數(shù)滿足一定的正則條件時，我們證明了非平穩(wěn)的高斯隨機場的極值的幾乎處處中心極限定理，同時，在比較弱的條件下，我們證明了相應的極值的分布的弱收斂性。所得結(jié)論改進了Pereira(2010)[88]的結(jié)論。
　　 上述結(jié)果不僅豐富了極值理論的理論體系，而且在金