單調(diào)動力系統(tǒng)理論及其應(yīng)用.pdf

1、本文內(nèi)容共分為兩部分. 在第一部分中，簡單地介紹了單調(diào)動力系統(tǒng)理論的發(fā)展?fàn)顩r.特別地，介紹了強(qiáng)序保持半流(簡稱為SOP半流)的通有(擬)收斂的重要理論結(jié)果，同時，也指出這一理論應(yīng)用到時滯微分方程系統(tǒng)和時滯反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)時有其不容忽視的缺陷，具體表現(xiàn)在需要狀態(tài)空間的適當(dāng)選取及技術(shù)性的“點(diǎn)火”假設(shè).為了克服這些缺陷，本文引入一類廣義SOP半流，證明了這類半流擁有類似的正極限集的二分性原理及三分性原理，進(jìn)而表明這類半流通有擬收斂和穩(wěn)定的

2、結(jié)論，將這一結(jié)果應(yīng)用到時滯反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)時正好彌補(bǔ)了上述缺陷.為了獲得更好的結(jié)論，增加了半流的單調(diào)性，光滑性及“譜假設(shè)”.另外，本文還給出了經(jīng)典的Krein-Rutman定理的若干改進(jìn)形式，并指出附加的“譜假設(shè)”一般可由單調(diào)性及改進(jìn)型的Krein-Rutman定理來保證，這一點(diǎn)也為應(yīng)用提供了較大的方便.如同前面一樣，獲得了通有收斂和穩(wěn)定的理論結(jié)果，并將其應(yīng)用到一類廣義合作與不可約時滯微分方程系統(tǒng)(不具有相應(yīng)的“點(diǎn)火”假設(shè))，同樣成功地克服

3、了上面提到的缺陷.最后，提出并證明了廣義Perron-Frobenius定理，由此本文證明了廣義合作與不可約時滯微分方程系統(tǒng)在平衡態(tài)處的線性穩(wěn)定性完全由其忽略時滯后的常微分方程系統(tǒng)在相應(yīng)的平衡態(tài)處的線性穩(wěn)定性所決定. 在第二部分中，本文提到了偽單調(diào)半流的概念.一方面，偽單調(diào)半流是單調(diào)半流的一種推廣，另一方面，偽單調(diào)半流也是單調(diào)方法與動力系統(tǒng)的觀點(diǎn)相結(jié)合的生成物.本文指出偽單調(diào)半流是指一類定義在序拓?fù)淇臻g上的半流并且這類半流保持某

4、些有序偶之間的一定程度的序關(guān)系，而這種保序程度有助于運(yùn)用單調(diào)方法及動力系統(tǒng)觀點(diǎn)來研究.顯然，這類半流似乎很難從數(shù)學(xué)上給出一個明確的定義，因而上面籠統(tǒng)的講法或許更有意義.本文也給出了幾種偽單調(diào)半流的數(shù)學(xué)定義，通過運(yùn)用單調(diào)方法及動力系統(tǒng)觀點(diǎn)，研究了正極限集與某相點(diǎn)之間的關(guān)系，進(jìn)而提出了幾個收斂原理，這些原理不僅從理論上較大地改進(jìn)了已有的相關(guān)結(jié)論，而且在應(yīng)用中也體現(xiàn)出其獨(dú)特之處.作為這部分結(jié)論的應(yīng)用，本文考慮了Bernfeld和Haddock