離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌理論及其應(yīng)用.pdf

1、動(dòng)力系統(tǒng)是非線性科學(xué)的重要組成部分，它研究自然現(xiàn)象隨時(shí)間演變的極限行為.經(jīng)過(guò)Poincaré，Lyapunov，Birkhoff等人的奠基和發(fā)展，動(dòng)力系統(tǒng)已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支之一.混沌(chaos)是非線性動(dòng)力系統(tǒng)普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式，是現(xiàn)代非線性科學(xué)研究的中心問(wèn)題之一.同時(shí)，混沌研究對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展起著全局性、本質(zhì)性的影響.但是，究竟什么是混沌，不同的領(lǐng)域?qū)煦绲睦斫夂懿幌嗤?，直到現(xiàn)在還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的定義.一般而言，混沌是指

2、發(fā)生在確定性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)的類似隨機(jī)的動(dòng)力學(xué)行為(內(nèi)在隨機(jī)性)。
　　 數(shù)學(xué)上常用的混沌定義，對(duì)于離散動(dòng)力系統(tǒng)有Li-Yorkc混沌[54]、Dcvancy混沌[25]和Wiggins混沌[107];對(duì)于連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)有Smalc馬蹄意義下混沌[96].對(duì)初始條件的敏感依賴性被認(rèn)為是混沌最重要的本質(zhì)特征.因此，研究系統(tǒng)具有敏感依賴性吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注[1，8，35，38，40，52，53，109].199

3、2年，Banks等人證明了Dcvancy混沌定義中的條件“周期點(diǎn)稠密”和“拓?fù)鋫鬟f”蘊(yùn)含“對(duì)初始條件敏感依賴”[8].1993年，Glasncr和Wciss得到了更強(qiáng)的結(jié)論:傳遞非極小的幾乎周期點(diǎn)稠的系統(tǒng)是敏感依賴的[35].2002年，Abraham等人從遍歷論角度對(duì)敏感依賴性進(jìn)行了研究[1]，證明了度量概率空間上具有滿支集的保測(cè)變換T如果滿足強(qiáng)混合或拓?fù)浠旌?、弱混合和其它條件，那么T是敏感依賴的.2010年，黎日松和史玉明在文[52

4、]中減弱了Abraham等人的條件，給出了拓?fù)鋸?qiáng)遍歷的定義，并證明了若度量概率空間上的具有滿支集的保測(cè)變換T是拓?fù)鋸?qiáng)遍歷的，則T是敏感依賴的.其它與敏感依賴性有關(guān)的結(jié)果，可參見(jiàn)[40，109，113]。
　　 系統(tǒng)對(duì)初始條件敏感依賴強(qiáng)度的大小可以用敏感依賴時(shí)間集的大小來(lái)度量.基于此，2007年，Moothathu給出了自治離散系統(tǒng)敏感依賴的三種強(qiáng)形式:syndctic敏感依賴、有限余敏感依賴和多敏感依賴[69]，并得到了系統(tǒng)是強(qiáng)

5、敏感依賴的一些充分條件和不是強(qiáng)敏感依賴的反例.最近，黎日松和史玉明給出了另一種強(qiáng)敏感依賴一遍歷敏感依賴[53]，并研究了保測(cè)變換和半流是四種強(qiáng)敏感依賴的充分條件。
　　 判定一個(gè)系統(tǒng)是否混沌或是哪一種混沌是比較困難的研究課題.在自治離散系統(tǒng)混沌判定方面，目前已取得了豐碩的成果.1975年，李天巖和Yorkc研究了連續(xù)區(qū)間映射并得到了一個(gè)著名的結(jié)果:“周期3蘊(yùn)含混沌”[54]，同時(shí)他們首次對(duì)混沌給出了一個(gè)描述性的定義.1978年，

6、Marotto受李天巖和Yorke工作的啟發(fā)，把Li-Yorke定理的結(jié)果推廣到了n-維歐氏空間，引入了擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的概念，并證明了返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)致Li-York(c)意義下混沌[65，定理3.1].2004年，史玉明和陳關(guān)榮抓住了擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的本質(zhì)，將有限維空間中對(duì)連續(xù)可微映射定義的返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的概念推廣到了一般度量空間中[84]，進(jìn)而建立了完備度量空間上離散動(dòng)力系統(tǒng)的若干混沌判定定理[84，85，91

7、].其它混沌判定方法可參見(jiàn)[55-59，61]。
　　 耦合擴(kuò)張理論是判定自治離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌的有力方法之一.1992年，Block和Coppel在研究連續(xù)區(qū)間映射時(shí)引入了turbulcntmap的概念[11]，并證明了如果連續(xù)區(qū)間映射f嚴(yán)格turbulcnce，那么f在一個(gè)緊子集上拓?fù)浒牍曹椨趩芜叿?hào)動(dòng)力系統(tǒng)，從而f在Dcvaney和Li-York(c)意義下混沌[10，11].2006年，史玉明和陳關(guān)榮把turbulence

8、的概念推廣到一般度量空間[87].為避免與流體力學(xué)常用詞匯湍流(turbulcncc)相混淆，他們將之更名為耦合擴(kuò)張映射.之后，史玉明與她的合作者建立了一系列的由映射的耦合擴(kuò)張性導(dǎo)致混沌的判定定理[89-91，123]。
　　 理論與實(shí)踐總是相伴而生、相輔相成的，混沌理論來(lái)源于實(shí)踐，又應(yīng)回到實(shí)踐中去，應(yīng)用于實(shí)踐.對(duì)于混沌控制的研究吸引了許多學(xué)者的興趣.混沌控制包含兩個(gè)相反的方面:混沌的控制和混沌的反控制(也稱為混沌化).使一個(gè)混

9、沌的系統(tǒng)變得不混沌或穩(wěn)定的過(guò)程稱為混沌的控制.使一個(gè)不混沌的系統(tǒng)變得混沌或使混沌系統(tǒng)呈現(xiàn)更強(qiáng)的混沌或不同類型的混沌的過(guò)程稱為混沌化或混沌的反控制.在過(guò)去十多年間，人們認(rèn)為混沌是有害的，對(duì)自治離散系統(tǒng)混沌的控制的研究得到了快速發(fā)展.關(guān)于混沌的控制更多的研究參見(jiàn)[18，45，49].然而，由于混沌在許多領(lǐng)域也是非常有用的，例如人的大腦、機(jī)器人制造、心臟跳動(dòng)的規(guī)則、數(shù)字通訊、密碼學(xué)、流體力學(xué)等等[15，26，31，82，97]，因此混沌的反控

10、制也得到了許多學(xué)者的研究與關(guān)注.1996年，陳關(guān)榮和賴德健首先提出了反饋控制方法[16，17，19]，并證明了當(dāng)原系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，具有模運(yùn)算的受控系統(tǒng)在Dcvancy意義下混沌;當(dāng)原系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)時(shí)，受控系統(tǒng)在Wiggins意義下混沌.在文獻(xiàn)[102，103，116，126]中，汪小帆等人運(yùn)用Marroto定理證明了受控系統(tǒng)在Li-York(c)意義下混沌.最近，史玉明、陳關(guān)榮和郁培把這些方法推廣到了無(wú)窮維離散動(dòng)力系統(tǒng)[20，86，

11、92]，并且給出了Banach空間中離散動(dòng)力系統(tǒng)的一些混沌化格式，他們證明了受控系統(tǒng)在Dcvancy和Li-York(c)意義下混沌。
　　 混沌理論與方法已被廣泛應(yīng)用于振動(dòng)、自動(dòng)控制、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域中，并對(duì)一些社會(huì)科學(xué)的研究和發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.1838年，Cournot首先建立了一般策略博弈的兩寡頭競(jìng)爭(zhēng)的基本理論.后來(lái)又出現(xiàn)了許多改進(jìn)的Cournot模型[105].最近，具有有限理性的兩寡頭競(jìng)爭(zhēng)博弈得到了廣泛的研究[2-

12、4，32，75，114，117].1991年，Puu首先在兩寡頭競(jìng)爭(zhēng)的Cournot模型中發(fā)現(xiàn)了包括分?jǐn)?shù)維的吸引子的各種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[75].2001年，Agiza等人研究了多個(gè)競(jìng)爭(zhēng)者的寡頭競(jìng)爭(zhēng)模型，推廣了Puu的模型[2].2003年，Yasscn等人研究的Cournot模型中每個(gè)廠商運(yùn)用不同的生產(chǎn)方法和用時(shí)滯有限理性選擇他們的產(chǎn)量[112].分別在2003年的文獻(xiàn)[3]和2010年的文獻(xiàn)[117]中，作者研究了兩個(gè)不同競(jìng)爭(zhēng)者的C

13、ournot模型，其中一個(gè)具有有限理性，而另一個(gè)是幼稚的，并應(yīng)用數(shù)值方法計(jì)算了最大Lyapunov指數(shù)和混沌吸引子的分?jǐn)?shù)維.2004年，易余胤等人研究了具有不同行為規(guī)則的演化Cournot模型，并且得出近視眼的行為規(guī)則不會(huì)被Nash行為規(guī)則所淘汰[114]。
　　 遍歷理論起源于Hamilton動(dòng)力系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析，它研究系統(tǒng)長(zhǎng)期平均行為的定性性質(zhì)，在數(shù)學(xué)物理、概率論和數(shù)論等許多數(shù)學(xué)分支都有重要和深刻的應(yīng)用[12-14，33

14、，10l].對(duì)于拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，在相當(dāng)大的一類群作用下，它具有一個(gè)相應(yīng)于Borclσ—代數(shù)的不變測(cè)度.于是，遍歷理論就成為了一個(gè)研究拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的基本工具[113].遍歷定理是遍歷理論的基本研究主題之一.遍歷理論中的第一個(gè)重要結(jié)論是在1931年由Birkhoff得到的逐點(diǎn)遍歷定理，其次是在1932年由yonNcumann得到的平均遍歷定理.繼Birkhoff和yonNcumann的開(kāi)創(chuàng)性工作之后，許多數(shù)學(xué)家對(duì)逐點(diǎn)及平均遍歷定理作了種種推廣

15、[29，64，70，74，77，101].1987年，Elton研究了緊致度量空間中有限個(gè)壓縮映射組成的迭代函數(shù)系統(tǒng)(ItcratcdFunctionSystcms)的遍歷定理[29].2001年，馬東魁和周作領(lǐng)對(duì)Elton的工作進(jìn)行了改進(jìn)，得到了有限迭代函數(shù)系統(tǒng)的幾個(gè)新的遍歷定理[64].2005年，吳亨哲等人研究了緊致度量空間中無(wú)窮個(gè)壓縮映射組成的迭代函數(shù)系統(tǒng)的遍歷定理[70]。
　　 時(shí)變(非自治)離散系統(tǒng)存在于許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)

16、題中，經(jīng)濟(jì)和生物中的很多問(wèn)題都可以用時(shí)變系統(tǒng)的特殊情形—周期離散系統(tǒng)來(lái)刻劃[6，23，24，28，41，81].但受科學(xué)自身發(fā)展的限制和為了研究問(wèn)題的方便，往往將時(shí)變系統(tǒng)近似為自治系統(tǒng)進(jìn)行研究.由于時(shí)變離散系統(tǒng)是由若干個(gè)映射復(fù)合而成的，而自治系統(tǒng)只涉及到一個(gè)映射的復(fù)合，所以時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為比自治系統(tǒng)要復(fù)雜得多，研究也困難得多.目前關(guān)于時(shí)變離散系統(tǒng)的研究成果較少[6，30，47，88，94，95，99，115，119].1996年，K

17、olyada和Snoha研究了時(shí)變系統(tǒng)的拓?fù)潇豙47].2003年，F(xiàn)ranke和Selgradc討論了時(shí)變離散系統(tǒng)的特殊情形一周期離散系統(tǒng)的吸引子問(wèn)題[30].2006年，AlSharawi等人把Sharkovskii定理推廣到了周期離散系統(tǒng)中[6].在時(shí)變離散系統(tǒng)的混沌判定方面，近幾年取得了一些進(jìn)展.2006年，田傳俊和陳關(guān)榮研究了在同一度量空間(X，d)上的映射族在迭代方式和逐次方式下的動(dòng)力學(xué)行為[99]，推廣了自治離散系統(tǒng)Dcv

18、aney意義下的混沌概念.2009年，史玉明和陳關(guān)榮將自治離散系統(tǒng)混沌的概念推廣到時(shí)變離散系統(tǒng)，建立了有限維線性時(shí)變系統(tǒng)在Li-Yorke意義下混沌的判定定理和一般時(shí)變系統(tǒng)在強(qiáng)Li-York(c)意義下混沌的判定定理[88].最近，史玉明引入了時(shí)變離散系統(tǒng)一種新的子系統(tǒng)的概念，并討論了時(shí)變系統(tǒng)及其子系統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)之間的關(guān)系[94].在[95]中，史玉明與她的合作者進(jìn)一步深入研究了周期離散系統(tǒng)的混沌問(wèn)題，得到了周期系統(tǒng)在Dcvancy

19、和強(qiáng)Li-Yorke意義下混沌的判定定理和不混沌的充分條件。
　　 據(jù)我們所知，關(guān)于時(shí)變離散系統(tǒng)還有大量問(wèn)題沒(méi)有被研究，有些問(wèn)題研究結(jié)果不多或結(jié)果不深刻，如敏感依賴性、混沌化和遍歷理論中的問(wèn)題等.本文將針對(duì)時(shí)變離散系統(tǒng)及其特殊情形一周期離散系統(tǒng)的敏感依賴性進(jìn)行研究，比較系統(tǒng)地討論了周期離散系統(tǒng)的遍歷定理.本文還考慮了有限維和Banach空間中時(shí)變系統(tǒng)的混沌化問(wèn)題，通過(guò)反饋控制方法，利用耦合擴(kuò)張理論和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)理論建立了時(shí)變系

20、統(tǒng)的幾個(gè)混沌化格式.另外，到目前為止，關(guān)于Cournot模型復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的結(jié)果都是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真得到的，缺少嚴(yán)格的理論證明.本文建立了一個(gè)新的Cournot模型并運(yùn)用返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)理論嚴(yán)格證明了該模型在Dcvancy和Li-Yorke意義下混沌。
　　 本文主要研究了混沌的重要特征—敏感依賴性、混沌化和混沌在博弈論中的應(yīng)用三個(gè)方面的問(wèn)題.本文由四章組成，主要內(nèi)容如下：
　　 第一章：概述了動(dòng)力系統(tǒng)混沌理論及其應(yīng)用的研究

21、進(jìn)展，給出了一些預(yù)備知識(shí)，其中包括幾個(gè)常用的混沌定義，以及動(dòng)力系統(tǒng)中的一些基本概念，并回顧了符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的一些基本概念和性質(zhì)以及測(cè)度空間和保測(cè)映射的概念。
　　 第二章：主要討論時(shí)變離散系統(tǒng)的敏感依賴性及其特殊情形一周期離散系統(tǒng)的遍歷定理.本章首先研究了時(shí)變離散系統(tǒng)的敏感依賴性，給出了一般時(shí)變系統(tǒng)敏感依賴的兩個(gè)充分條件.引入了時(shí)變系統(tǒng)敏感依賴的四種強(qiáng)形式:有限余敏感依賴、多敏感依賴、syndctic敏感依賴和遍歷敏感依賴，并給出

22、了時(shí)變系統(tǒng)是有限余敏感依賴的兩個(gè)充分條件.然后討論了周期離散系統(tǒng)的敏感依賴性，給出了保測(cè)周期系統(tǒng)敏感依賴的一個(gè)充分條件，證明了若具有滿支集的保測(cè)周期系統(tǒng)拓?fù)鋸?qiáng)遍歷，則該系統(tǒng)是敏感依賴的.本章還研究了周期系統(tǒng)與其誘導(dǎo)的自治系統(tǒng)的四種強(qiáng)敏感依賴之問(wèn)的關(guān)系.證明了當(dāng)周期系統(tǒng)誘導(dǎo)的自治系統(tǒng)具有四種強(qiáng)敏感依賴特性之一時(shí)，周期系統(tǒng)亦然.反過(guò)來(lái)，當(dāng)周期系統(tǒng)滿足一致連續(xù)條件時(shí)，周期系統(tǒng)具有四種強(qiáng)敏感依賴性之一，則其誘導(dǎo)的自治系統(tǒng)亦然.最后推廣了Hilb

23、crt空間上的平均遍歷定理，并把自治系統(tǒng)vonNcumann意義下的平均遍歷定理和Birkhoff逐點(diǎn)遍歷定理推廣到了周期系統(tǒng)。
　　 第三章：主要討論時(shí)變離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌化問(wèn)題.本章考慮有限維空間和一般Banach空間以及特殊Banach空間中時(shí)變離散系統(tǒng)的混沌化問(wèn)題.利用反饋控制方法建立了若干個(gè)混沌化格式.并且對(duì)每個(gè)混沌化格式，給出了控制參數(shù)的范圍.為便于在實(shí)際中進(jìn)行操作，設(shè)計(jì)的控制器是自治的，包括一般控制器和鋸齒函數(shù)，且

24、一般控制器具有嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張?zhí)匦曰蚓哂蟹祷財(cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn).在某些情形下，只要求時(shí)變系統(tǒng)的映射序列滿足一致Lipschitz條件.利用史玉明和陳關(guān)榮[88]建立的具有嚴(yán)格耦合擴(kuò)張的時(shí)變系統(tǒng)在強(qiáng)Li-York(c)意義下混沌的判定定理證明了受控系統(tǒng)在強(qiáng)Li-York(c)意義下混沌.最后給出了一個(gè)二維映射的例子及其計(jì)算機(jī)仿真圖.
　　 第四章：研究混沌理論在博弈論中的一個(gè)應(yīng)用—具有近視眼行為規(guī)則的Cournot模型的混沌分析.首先建立