離散與間斷動力系統(tǒng)的Conley指標(biāo)理論及應(yīng)用.pdf

1、Conley指標(biāo)由Charles C.Conley在處理天體力學(xué)中的微分方程時首先提出.它是定義在任意孤立不變集上的同倫不變量，是Morse指標(biāo)的推廣.Conley指標(biāo)既可證明不變集的存在性，又包含穩(wěn)定性，同時還具有對微小擾動保持不變的連續(xù)不變性.基于Morse分解的Conley指標(biāo)可以刻劃不變集的諸多復(fù)雜動力學(xué)行為.這些良好的性質(zhì)使Conley指標(biāo)從誕生之日起就得到了充分的重視和廣泛的應(yīng)用.目前在動力系統(tǒng)的各領(lǐng)域幾乎都已建立了Conl

2、ey指標(biāo)理論，惟獨沒有間斷動力系統(tǒng)的Conley指標(biāo).本文解決了這一難題，給出了某一類間斷動力系統(tǒng)(有限分片連續(xù)映射)的Conley指標(biāo).此外，我們還研究了離散Conley指標(biāo)與分支點的關(guān)系，以及用Conley指標(biāo)對Ikeda映射的混沌性作計算機(jī)嚴(yán)格輔助證明. 具體來說，論文首先將流上的素孤立不變集推廣到離散系統(tǒng)的情形，證明了素孤立不變集的不交性；給出了利用Conley指標(biāo)判斷離散動力系統(tǒng)分支點存在的充分條件.我們還首次從范疇角

3、度研究了動力系統(tǒng)族范疇中，怎樣的態(tài)射有相同分支點的問題，得到了兩族系統(tǒng)在某一條件下有一致C-分支點的充分條件.這一條件比兩族系統(tǒng)完全拓?fù)涔曹椚?，因此是有理論意義的，可以使我們從相對較簡單的或已知分支點狀況的系統(tǒng)來推知未知系統(tǒng)的分支點.接著，我們把編碼映射的圖的概念從分片等距映射擴(kuò)展至一般的有限分片連續(xù)映射，并以此為工具定義出了有限分片連續(xù)映射的Conley指標(biāo).詳細(xì)論述了不連續(xù)性對定義指標(biāo)的困難，并設(shè)計了一系列的方法加以解決.最終得到的

4、指標(biāo)仍然有Wazewski性質(zhì)，雖弱于局部緊空間的連續(xù)映射的Conley指標(biāo)，但比非局部緊空間上的連續(xù)映射的Conley指標(biāo)要強(qiáng)，因此是有意義的.我們所給的指標(biāo)是連續(xù)映射指標(biāo)的真推廣，可以用來證明不變集的存在性.最后，我們用區(qū)間算法、Conley指標(biāo)和計算同調(diào)等工具，研究了在某一參數(shù)下的Ikeda映射的混沌性.用計算機(jī)嚴(yán)格輔助的方法，證明了給定參數(shù)下的Ikeda映射含有極小周期分別為2和3的周期點.利用連接此2，3周期點的軌道，構(gòu)造了相