與冪等陣相關的兩種保持問題.pdf

1、保持問題的目的在于刻畫兩個代數(shù)結構之間使得某些代數(shù)性質在其作用之下得以保持的映射。保持問題的研究開始于Frobenius在1897年發(fā)表的一篇文章， Frobenius在該文中刻畫了復方陣空間上保持行列式的線性映射。時至今日，保持問題的研究已經取得豐碩的成果。不但有矩陣代數(shù)上的保持問題，還有算子代數(shù)上的保持問題。保持問題所涉及到的不變量可以分為函數(shù)、子集、關系和變換四種。保持映射有加法映射、乘法映射、線性映射，等等。
　　2003

2、年，ˇSemrl首次研究了A?λB型的保持映射，并且刻畫了復方陣空間上雙向保持平方冪等的A?λB型映射（該映射同時還是連續(xù)的雙射）。此后，很多學者對類似的保持問題進行了研究，改進了前人的結果，豐富了保持問題的研究。游宏等學者在2007年刻畫了復方陣空間上雙向保持k?冪等的A?λB型映射，在2008年進一步刻畫了復上三角矩陣空間上雙向保持k?冪等的A?λB型映射。雙向保持映射一定是單向保持映射，反之則未必。曹重光等在2008年改進了游宏等

3、的結果，刻畫了復方陣空間上單向保持k?冪等的A?λB型映射。
　　本文刻畫了復對稱矩陣空間上單向保持k?冪等的A?λB型映射，從而可以比較容易地得到雙向保持k?冪等的A?λB型映射的形式。這個結論不但推廣了前人的成果，并且在研究的過程中所使用的方法同樣適用于復方陣空間上單向保持k?冪等的A?λB型映射。
　　研究新的不變量是保持問題發(fā)展的一個動力所在。2010年，Pazzis給出了，域上矩陣可以表示成兩個平方冪等陣的線性組合

4、的等價條件，并且在此基礎上證明了，任意域上的矩陣都可以表示成三個平方冪等的線性組合。2012年， Botha給出了，任意域上的矩陣可以分解成兩個平方冪零陣之和的充分必要條件。從保持問題的角度考慮，研究保持這些矩陣分解的映射是有吸引力的問題。而在研究這些關于矩陣分解的保持問題之前，對矩陣的這兩種分解進行深入研究是必要的。
　　盡管Pazzis和Botha分別給出了矩陣進行這兩種分解所滿足的充要條件，但是他們并沒有指出這兩種分解之間的