賦范空間的單位球面間等距映射的線性延拓.pdf

1、1987年，D.Tingley在[87]中提出如下問題：設E，F(xiàn)是實賦范線性空間，S(E)和S(F)是E,F的單位球面。若T: S(E)→S(F)是一個滿等距映射(即 T(S(E))=S(F)且對于任意的x<,1>，x<,2>∈S(E)，都有‖Tx<,1>-Tx<,2>‖=‖x<,1>-x<,2>‖)，問T能否延拓為E到F上的線性(或仿線性)等距映射。對于復空間的情形答案顯然是否定的．例：令E=F=C(復平面)且Tx=x即知。

2、這一問題被許多數(shù)學工作者廣泛的研究[15，20，24，25，92-97]，并且已經(jīng)得到了一些漂亮的結果。然而，迄今為止，它仍然沒有被完滿的解決。在本文中，我們對于該問題以及該問題的一些拓展形式(主要是將Tingley問題中的滿等距改為非滿等距)作了研究，得出了一些有意義的結論。 本文主要研究實賦范空間中的Tingley問題，考慮單位球面間等距映射(滿或不滿)能否線性延拓至全空間。我們將本文分為兩章。 第一章中，我們主要研

3、究了任意兩個實賦范空間E，F(xiàn)的單位球面S(E)和S(F)之間的任意映射能否延拓至全空間。得到了以下結果； 在第二章中，我們主要研究特殊類型的賦范空間的單位球面間等距映射的線性延拓問題。本章分為兩小節(jié)。 在2.1 節(jié)中，我們假設E，F(xiàn)都是實嚴格凸，光滑的自反空間。接下來我們構造了相關聯(lián)的兩個映射L′和L，它們分別將定義域空間E和值域空間F映為l<'∞>(Γ)的子空間。并且由此得到如下結論： E，F(xiàn)都是實嚴格凸，光滑

4、的自反空間，T:S(E)→S(F)是滿等距映射，則T可以延拓為全空間E 上的線性等距算子的一個充要條件是L(F)，L′(E)是l<'∞>(Γ)中的同一個線性子空間。 我們還構造了相關聯(lián)的兩個映射K，K′，它們分別將定義域空間E和值域空間F映為l<'∞>(Γ)的子空間。并且得到如下結論： E，F(xiàn)都是實嚴格凸，光滑的自反空間，T:S(E)→S(F)是非滿等距映射，則T可以延拓為全空間E上的線性等距算子的一個充要條件是K(E)