線性等距延拓和保距離等式映射.pdf

1、賦范空間是泛函分析中的一個(gè)很基本的概念，同時(shí)又是一個(gè)不可或缺的概念。許多研究都是以賦范空間為基礎(chǔ)的。而單位球面在整個(gè)空間性質(zhì)的研究中經(jīng)常發(fā)揮著非常重要的作用。人們想知道單位球面上的性質(zhì)到底在何種程度上決定整個(gè)空間的性質(zhì)。1987年D.Tingley提出了下面的問題：
　　 令E和F都是賦范空間，他們的單位球面分別記為S1(E)和S1(F)。如果存在一個(gè)從S1(E)到S1(F)的滿等距Vo，那么是否存在一個(gè)從E到F的線性等距映射V

2、使得V|s1(E)=Vo?
　　 許多數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究并得到很多結(jié)論，尤其是對(duì)一些經(jīng)典巴拿赫空間得到了簡潔的肯定回答。隨著該問題的研究，一些更深入的問題被提了出來，比如令E和F都是賦范空間，他們的單位球面分別記為S1(E)和1S(F)。如果存在一個(gè)從S1(E)到S1(F)的非滿等距（或1-Lipschti映射）Vo，那么是否存在一個(gè)從E到F的線性等距映射V使得Vls1(E)=Vo?
　　 數(shù)學(xué)家們對(duì)這些問題也進(jìn)

3、行了很多研究并得到了一些很好的結(jié)論。
　　 在第2章，我們對(duì)賦范空間E和F單位球面S1(E)和S1(F)間的等距映射和l-Lipschti映射的延拓問題進(jìn)行了研究。
　　 作為準(zhǔn)備工作，我們在2.2節(jié)給出了一個(gè)充分條件，在該條件下，我們證明了兩個(gè)ALP空間(1　　 令Vo是一個(gè)單位球面S1(Ω1，μ1))到單位球面

4、S1(Lp(Ω1，μ2))間的1-Lipschitz映射，并且1　　 在2.3節(jié)中我們證明了在p>2的時(shí)候，從Alp空間的單位球面到任何巴拿赫空間單位球面之間的滿等距映射一定可以線性等距

5、延拓到整個(gè)空間上去。也即：
　　 E是任意的巴拿赫空間，Vo是一個(gè)從單位球面S1(Lp(Ω1，μ1))到單位球面S1(E)的滿等距映射，并且2>=Vo。
　　 在2.4節(jié)中我們證明了在1　　 E是任意的巴拿

6、赫空間，Vo是一個(gè)從單位球面S1(Lp(Ω,μ))到單位球面S1(E)的滿等距映射，并且1　　 在2.5節(jié)中我們研究了二維嚴(yán)格凸空間上的線性等距延拓問題。盡管對(duì)于一般的空間E和F來說這是一種很簡單的情況，但還是很難得到一個(gè)簡潔的回答。這里我們給出了一個(gè)充分條件。我們證明了：
　　 令E,F是二維嚴(yán)格凸空間，Vo是從S1(

7、E)到S1(F)的等距映射，如果對(duì)于任何X，V∈S1(E)都存在滿足||αx+βy||＝1的α,β＞0使得||αVoX+βVoy||＝1并且||(α-1)x+βy||＝||(α-1)Vox+βVoy||,那么Vo一定可以線性等距延拓到全空間上去。
　　 在第3章，我們對(duì)保距離等式映射進(jìn)行了研究。很多數(shù)學(xué)家在多個(gè)領(lǐng)域里對(duì)這種映射做了研究。VonNeumann、Schoenberg、J．Heitzig和E．Pap對(duì)保距離等式映射分別

8、在希爾伯特空間，至少二維的歐氐空間和可換格序群上進(jìn)行了研究并都得到了很多有意義的結(jié)果。
　　 作為Mazur-Ulam定理的推廣，Vogt證明了保距離等式映射在Mazur-Ulam定理中可以取代等距映射，也就是說，兩個(gè)賦范空間之間的滿保距離等式映射一定是一個(gè)仿射。結(jié)合該結(jié)論和Baker定理，我們得到了如下的結(jié)果：
　　 X是一個(gè)實(shí)賦范空間，并且維數(shù)大于等于2，y是一個(gè)嚴(yán)格凸的實(shí)賦范空間，f是從X到Y(jié)的保距離等式映射。如果