圖的臨界群研究.pdf

1、圖G的Laplacian矩陣L(G)是研究圖的性質(zhì)的一個(gè)重要工具.人們傳統(tǒng)上用L(G)的特征值來研究圖論，得到很多很好的結(jié)論.近二十年來，人們發(fā)現(xiàn)L(G)的Smith標(biāo)準(zhǔn)型和特征值一樣，同為圖的同構(gòu)精細(xì)不變量，自然也是研究圖論的好工具.作者最早接觸到的臨界群概念，是源自Godsil和Royle的著作GTM207.國(guó)際著名數(shù)學(xué)家Biggs在1999年的時(shí)候證明了圖的臨界群能夠被L(G)的Smith標(biāo)準(zhǔn)型所刻劃.本文研究了兩類Cartesi

2、an乘積圖Km×Cn和C4×Cn的Laplacian矩陣，得到了它們的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，給出了這兩類圖的臨界詳細(xì)群結(jié)構(gòu)和生成樹數(shù)目.對(duì)于一般化的圖，我們給出了其Smith標(biāo)準(zhǔn)型的前三個(gè)不變因子的精確上界.
　　 下面的是本篇論文得到的主要結(jié)果，其中的參數(shù)在正文對(duì)應(yīng)部分都有詳細(xì)的介紹.
　　 若n=2s+1，則Km×Cn(m，n≥3)的臨界群為(公式略)其中γ=hs/(n,gs)(n,hs),ψ=nmhs/(n,hs).<

3、br>　　 若n=2s，則Km×Cn(m，n≥3)的臨界群為(公式略)其中(公式略)
　　 由此得到Km×Cn的支撐樹的數(shù)目為(公式略)
　　 若n=2s+1，則C4×Cn(n≥3)的臨界群為(公式略)
　　 若n=2s且s為奇數(shù)，則C4×Cn(n≥3)的臨界群為(公式略)
　　 若n=2s且s為偶數(shù)，則C4×Cn(n≥3)的臨界群為(公式略)
　　 由此得到圖C4×Cn的支撐樹的數(shù)目為(公式略

4、)
　　 從而證明了當(dāng)n≥3時(shí)，有以下三角函數(shù)恒等式成立(公式略)
　　 此外，對(duì)n≥5階的簡(jiǎn)單連通非完全圖G，還得到了它的第三位不變因子的定位：s3(G)≤n，并且s3(G)=n當(dāng)且僅當(dāng)G=Kn-e，其中e的任意一條邊Kn；s3(G)=n-1當(dāng)且僅當(dāng)G=v·Kn-1，其中n≥5且G由完全圖Kn-1連接一個(gè)垂點(diǎn)v所得；s3(G)=n-2當(dāng)且僅當(dāng)n=5且G=K5-2e,其由K5刪除兩條不相鄰的邊所得，或G=Ks-C4，其由