群環(huán)的零因子圖.pdf

1、群環(huán)是一個重要的環(huán)類,它不僅與群論,環(huán)論有關(guān),而且與域論,線性代數(shù),代數(shù)數(shù)論,代數(shù)拓撲等理論具有緊密的聯(lián)系。近年來,群環(huán)在密碼,通信等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。使用圖性質(zhì)研究代數(shù)系統(tǒng),已成為近年來數(shù)學(xué)研究的一個熱點問題,引發(fā)了許多有趣的結(jié)果和問題。本文主要研究了群環(huán)的代數(shù)性質(zhì),結(jié)構(gòu),以及零因子圖的性質(zhì),其中為模剩余類環(huán),為階循環(huán)群。在沒有特別說明時,本文中的均為循環(huán)群。 本文分為八個部分,第一部分為引言,第二至第七部分中每一部分為一

2、章,是本文的核心,最后部分是結(jié)束語。 第一章概述了零因子圖的發(fā)展歷史,本文的研究背景,理論來源和研究意義。同時還給出了環(huán)論和圖論的一些基本概念與結(jié)論。 第二章對群環(huán)的代數(shù)性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)進行了研究,特別是對群環(huán)的素譜和零因子進行了深刻的探討,給出了較為具體的刻畫。本章的主要結(jié)果近期將在《廣西師范大學(xué)學(xué)報》發(fā)表(已接受)。 第三章主要討論了當(dāng)為素數(shù)時群環(huán)的的零因子圖的圍長,直徑,平面性,分別給出了較為具體的刻畫(定理3

3、.2.4,定理3.3.5,定理3.4.3)。 第四章主要討論了群環(huán)的基于理想的零因子圖的性質(zhì),分別給出了的圍長,平面性和直徑的較為具體的刻畫(定理4.2.2,定理4.3.1,定理4.4.2),其中為至少含有兩個元素的有限交換群。同時本章還討論了一般意義上交換環(huán)的基于理想的零因子圖與剩余類環(huán)的零因子圖的直徑的關(guān)系(定理4.4.1)。 第五章主要討論了當(dāng)為素數(shù)時群環(huán)關(guān)于增廣理想的理想化的零因子圖的性質(zhì)，分別給出了的圍長,平面

4、性和直徑的較為具體的刻畫(定理5.3.1,定理5.3.2,定理5.4.1)。 第六章主要研究了當(dāng)為合數(shù)時群環(huán)的的零因子圖的圍長,直徑,平面性,分別給出了較為具體的刻畫(定理6.2.4,定理6.3.4,定理6.4.3)。 第七章對環(huán)的著色問題和環(huán)的團數(shù)進行了一些思考,獲得了一些結(jié)果,更正了模剩余類環(huán)的零因子圖的團數(shù)計算公式。 最后部分為結(jié)束語,總結(jié)了本文的主要工作,闡述了與本文相關(guān)研究的一些課題,并對下一步的繼續(xù)研