幾類群環(huán)的研究與刻畫.pdf

1、群環(huán)的環(huán)論性質(zhì)的研究是群環(huán)研究的一個(gè)重要課題。1963年Connell討論了群環(huán)的Jacobson根和其系數(shù)環(huán)的Jacobson根的關(guān)系，素根和系數(shù)環(huán)的素根之間的關(guān)系，并且研究了幾類經(jīng)典的群環(huán)，如Artinian群環(huán)、Noetherian群環(huán)、von Neumann正則群環(huán)、自內(nèi)射群環(huán)等等。自此以后群環(huán)的環(huán)論性質(zhì)引起了眾多代數(shù)學(xué)者的興趣并做了深入的研究。例如，Nicholson研究了群環(huán)的局部性；Woods研究了群環(huán)的半完全性；Pass

2、man研究了局部有限群的群環(huán)的Jacobson根的性質(zhì)．最近，Chin和Lumpur 2002年研究了群環(huán)的半局部性；Chen，Li和Zhou 2006年討論了群環(huán)的morphic性質(zhì)；Yi和Zhou 2007年研究了群環(huán)的Baer和擬Baer性質(zhì)等等。 本文分三部分，第一部分主要討論與群環(huán)的morphic性相關(guān)的三個(gè)問題，即群環(huán)的π-morphic性，G-morphic性和廣義morphic性；第二部分主要討論與群環(huán)的Baer

3、生和擬Baer性相關(guān)的四個(gè)問題，即群環(huán)的p.p.性，廣義p.p.性，主擬Baer性和弱Baer性；第三部分在Chin和Lumpur的基礎(chǔ)上討論非交換群的群環(huán)的半局部性。 在第一部分中，通過群環(huán)的π-morphic性，G-morphic性以及廣義morphic性的研究，刻畫了與morphic有關(guān)的這幾類群環(huán)性質(zhì)，得到了一些有趣的結(jié)果。證明了如果G是有限p-群或有限交換群且r≥1，則Z<,p<'r>>G是π-morphic環(huán)；通過這

4、個(gè)結(jié)果，可以構(gòu)造一大批π-morphic環(huán)但不是morphic環(huán)的例子。對(duì)于有限p-群G的群環(huán)Z<,p<'r>>G，Z<,p<'r>>G是左G-morphic環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Z<,p<'r>>G是左廣義morphic環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)G是循環(huán)群且r=1。對(duì)于有限交換群G的群環(huán)Z<,n>G，Z<,n>G是G-morphic環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Z<,n>G是廣義morphic環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)p，如果p|(n，|G|)，則p<'2>|n并且G的Sylowp-子群

5、G<,p>是循環(huán)的。 在第二部分中，通過群環(huán)的(廣義)p.p.性，主擬Baer性以及弱Baer性的討論，刻畫了與Baer和擬Baer有關(guān)的這幾類群環(huán)性質(zhì)，得到了許多新的結(jié)論。證明了如果有限群的群環(huán)RG是左p.p.環(huán)(左主擬Baer環(huán))，則群G的階在R中可逆。而且有反例說明即使R是左p.p.環(huán)(左主擬Baer環(huán))，G是有限群且|G|<'-1> ∈ R也不能保證群環(huán)RC是左p.p.環(huán)(左主擬Baer環(huán))．群環(huán)的左p.p.性和弱Bae

6、r性在子群的群環(huán)下是封閉的。即如果RC是左p.p.環(huán)(弱Baer環(huán))，則對(duì)G的每個(gè)子群H，RH也是左p.p.環(huán)(弱Baer環(huán))。對(duì)于二面體群D<,∞>的群環(huán)，還證明了RD<,∞>是左主擬Baer環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左主擬Baer環(huán)。對(duì)于固定環(huán)R<'G>，如果R是弱Baer環(huán)，R<'G>也是弱Baer環(huán)。 最后研究了群環(huán)的半局部性，證明了如果G是局部有限冪零群(不一定交換)，則RC是半局部環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是半局部環(huán)且G是有限群，或者R是半局

7、部環(huán)，G≌G<,p>×H，其中G<,p>是無限p-群，日是有限群，(|H|，p)=1，且R/J(R)的特征為p>0。這個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于Chin和Lumpur 2002年的G是交換群的結(jié)論。此外還討論了具有唯一極大雙邊理想的半局部群環(huán)——齊次半局部群環(huán)，證明了：(1)如果RC是齊次半局部環(huán)，則R是齊次半局部環(huán)，G是p=群且p∈J(R)。(2)如果R是齊次半局部環(huán)， G是局部有限p-群且p∈J(R)，則RC是齊次半局部環(huán)。(3)如果G是交換群