關(guān)于幾類變換半群的研究.pdf

1、本文研究了保等價(jià)部分變換半群的變種半群上的正則性及格林關(guān)系，給出由部分變換半群的一個(gè)子集合生成給定子半群的充要條件和保等價(jià)變換半群的變種半群若干結(jié)果，本文共分三章，各章主要內(nèi)容如下： 第一章主要研究了非空集合X上的保等價(jià)部分變換半群PE(X)的變種半群PE(X；θ)上的正則性、格林關(guān)系、正則元．主要結(jié)果如下： 定理1.1.7半群PE(X；θ)中的元f是冪等元當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)y∈imf，有fθ(y)=y． 引理1.1

2、.8若f是PE(X；θ)中的冪等元，則以下條件成立： (1) im(θf)是π(f)的一個(gè)橫截面，且對(duì)每個(gè)y∈im(θf)有θf(y)=y； (2)θ|imf：imf→im(θf)是E*—保持的雙射． 定理1.1.10設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則(f，g)∈L當(dāng)且僅當(dāng)f=g或π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)且E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)． 定理1.2.1設(shè)f∈PE(X；θ)，則f是

3、PE(X；θ)中的正則元當(dāng)且僅當(dāng) (1)π(θf)=π(f)，E(θf)=E(f)； (2)對(duì)每個(gè)A∈X/E，存在某個(gè)B∈X/E，使得A∩im(θf)()θfθ(B∩domθ)． 定理1.2.4設(shè)f，g是PE(X；θ)中的正則元，則以下結(jié)論成立： (1)若π(f)=π(g)，貝π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)且E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)． (2)若imf=img，則對(duì)每個(gè)

4、A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)()gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)． (3)令A(yù)'=A∩imf，其中A∈X/E，則存在C∈X/E，使得A'∩domθ∈fθ(C∩domθ)． 定理1.3.1 R(PE(X；θ))=R(PE(X))當(dāng)且僅當(dāng)θ是X上的E*—保持的雙射． 定理1.3.2PE(X；θ)是正則半群當(dāng)且僅當(dāng) (1)θ是X上的E*—保持的雙射；

5、 (2)E=△(X)或E=X×X． 定理1.4.3設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則以下條件等價(jià)： (1)(f，g)∈R； (2)對(duì)每個(gè)A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)()gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)； (3)存在E*θ—可容許的雙射ψ：π(f)→π(g)，使得f*=g*ψ． 定理1.4.4假設(shè)f，g∈PE(X；θ)且f≠g，則以下條件等價(jià)：

6、 (1)(f，g)∈L； (2)π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)； (3)存在E*—保持的雙射φ：imf→img，使得g=φf，且θ|imf和θ|img是E*—保持的單射． 定理1.4.5設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則以下條件等價(jià)： (1)(f，g)∈H； (2)π(θf)=π(f)=π(g)=πr(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)

7、=E(θg)且對(duì)每個(gè)A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)∈gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)． 定理1.4.6設(shè)f，g∈PE(X；θ)，則以下條件等價(jià)： (1)(f，g)∈D； (2)存在E*θ—可容許的雙射ψ：π(f)→π(g)和E*—保持的雙射φ：imf→img，使得φf*=g*ψ且θ|imf和θ|img是E*—保持的單射． 第二章主要對(duì)部分變換半群P(

8、Xn)的一個(gè)子集合生成的若干種給定類型子半群進(jìn)行了刻劃．主要結(jié)果如下： 定理2.2.1設(shè)Q為P(Xn)的非空子集，且U—＜Ω＞．則U是左零半群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有α，β∈Ω，kerα=kerβ且α2=α． 定理2.2.2設(shè)Q為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是右零半群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有α，β∈Ω，imα=imβ且α2=α． 定理2.2.4設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，α1，…，αn∈Ω，且有 (1)imαi=

9、imαj，其中i，j=1，2，…，n，且i≠j； (2)αi|imαi；是置換，其中i=1，2，…，n； (3) kerαi=kerαj，其中i，j=1，2，…，n，且i≠j．則im(α1…αn)=iman且ker(α1…αn)=kerα1. 定理2.2.5設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有α，β∈Ω，有 (1) imα=imβ且α|imα是置換； (2) kerα=

10、kerβ． 定理2.2.7設(shè)U是P(Xn)的子半群，則U是完全單的當(dāng)且僅當(dāng)U中所有元有相同的秩． 定理2.2.8設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是完全單的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有α，β∈Ω，imα是由kerβ決定的分劃的橫截集． 定理2.2.9P(Xn)的子半群U是完全正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有α∈U，有rankα2=rankα． 定理2.2.10設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是完全正則的當(dāng)

11、且僅當(dāng)對(duì)所有α∈U，Coneu(imα)構(gòu)成kerα決定的分劃的部分橫截集． 定理2.2.11設(shè)U是P(Xn)的正則子半群，I∈Ims(U)和K∈Kers(U)且滿足I是由K決定的分劃的橫截集，則存在冪等元E∈U，使得img=I和kerε=K． 定理2.2.12設(shè)U是正則半群，則U是逆半群當(dāng)且僅當(dāng)|Ims(U)|=|Kers(U)|且對(duì)每個(gè)I∈Ims(U)，存在唯一的K∈Kers(U)，使得I是由K決定的分劃的橫截集，

12、 定理2.2.13設(shè)Ω為P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．則U是Clifford半群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有α，β∈Ω有： (1)α|imα是置換； (2)αeβ=eβα． 第三章給出半群TE(X；θ)是純正半群、左群、右群的充要條件，主要結(jié)果如下： 定理3.2.1 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的子半群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的f，g∈E(TE(X；θ))和對(duì)每個(gè)y∈fθg(X)，有fθgθ(y)=y．

13、 推論3.2.2半群TE(X；θ)是純正的當(dāng)且僅當(dāng)以下三條成立： (1)θ是X上的E*—保持的雙射； (2)E=△(X)或E=X×X； (3)對(duì)任意f，g∈E(TE(X；θ))和對(duì)每個(gè)y∈fθg(X)，有fθgθ(y)=y． 定理3.2.3 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的左零子半群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的f，g∈E(TE(X；θ))，有π(f)=π(g)． 推論3.2.4半群TE(X；θ)是左群

14、當(dāng)且僅當(dāng)以下三條成立： (1)θ是X上的E*—保持的雙射； (2) E=△(X)或E=X×X； (3)對(duì)任意f，g∈E(TE(X；θ))，有π(f)=π(g)． 定理3.2.5 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的右零子半群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的f，g∈E(TE(X；θ))，有f(X)=g(X)． 推論3.2.6半群TE(X；θ)是右群當(dāng)且僅當(dāng)以下三條成立： (1)θ是X上的E*—保持的雙射；