算子半群和非局部抽象柯西問題.pdf

1、算子半群理論是泛函分析的一個內(nèi)容豐富的重要分支，其理論自建立以來像其他學(xué)科一樣，也經(jīng)歷了由初創(chuàng)到不斷完善，成熟，豐富和擴(kuò)展等階段.該理論可以用在很多實(shí)際問題中，例如量子力學(xué)中的Schrodinger方程，熱傳導(dǎo)方程，以及非局部抽象柯西問題.本文主要討論兩個問題.一個是強(qiáng)連續(xù)算子半群的生成元預(yù)解式在一條垂直線上的性質(zhì)，二是利用算子半群理論討論非局部抽象柯西問題.
　　在本文的第1章，我們討論如下形式的非局部抽象柯西問題解的存在性和正

2、則性.｛ du/dt+ Au(t)=f(t,u(t)),t∈(0，T),(1.1)u(0)=g（u).
　　柯西問題的研究最初是從局部問題開始的，文獻(xiàn)[2]對下列柯西問題進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，｛du/dt+Au（t）=f（t,u（t)），t∈(0，T)，u(0)=x.分別討論了當(dāng)-A是強(qiáng)連續(xù)半群、解析半群以及緊半群的生成元時，初值問題解的性質(zhì).
　　非局部抽象柯西問題的研究最初是由Byswski在[1]中提出的.它比傳統(tǒng)的初

3、始值問題在物理中有更好的應(yīng)用，比如說對于試管中氣體擴(kuò)散現(xiàn)象的研究.關(guān)于它的解的存在性已在[1-9]中被深入研究過，而且研究領(lǐng)域也越來越廣.許多學(xué)者利用不同的不動點(diǎn)定理證明其溫和解的存在性.在文獻(xiàn)[3]中，作者利用了Schaefer不動點(diǎn)定理證明了非線性多值抽象柯西問題積分解的存在性;而在文獻(xiàn)[5]中，作者使用Darbo-Sadovskii不動點(diǎn)定理以及Petryshyn定理證明了半線性以及非線性非局部抽象柯西問題解的存在性和漸近性.另外

4、在文獻(xiàn)[6]中作者又利用了Sadovskii's不動點(diǎn)定理證明了半線性非局部微分方程溫和解的存在性.
　　本文主要是通過定義一個映射，巧妙的把非局部問題轉(zhuǎn)化為局部問題，利用[2]中已經(jīng)得到的一些結(jié)果，使其存在唯一溫和解和古典解.
　　我們討論半線性非局部抽象柯西問題滿足什么條件時存在唯一溫和解及古典解.本文的主要結(jié)果如下.
　　定理1.1.若初值問題(1.1)滿足以下條件:
　　(A1)若-A是C0半群R(t)的

5、無窮小生成元，令N=sup‖ R(t)‖,t∈(0，T).(A2)f∈C(0，T)×X，X），且關(guān)于第二個變量是一致利普希茨的，即對于任意的u1，u2∈X，X是一個Banach空間，存在L＞0，使得‖ f(t, u1)-f(t, u2)‖≤L‖u1-u2‖.(A3)g:C(0，T)→X關(guān)于u是一致利普希茨的，即對于任意的u1，u2∈X，存在M＞0，使得‖ g(u1)-g(u2)‖≤M‖u1-u2‖.(A4) MN+TNL＜1.則問題(1

6、.1)有唯一溫和解.
　　定理1.2.若問題(1.1)滿足定理1.1條件，又f:[0，T]×X→X是連續(xù)可微的，且g(u)∈D(A)，那么初值問題(1.1)有唯一古典解.
　　定理1.3.若初值問題(1.1)滿足以下條件:
　　(B1)若-A是解析半群R(t)的無窮小生成元，0∈ρ(A)，‖ R(t)‖≤ N.而且對于0＜α＜1，有‖ AαR(t)‖≤ Cαt-α,(V)t∈(0,T).
　　(B2)令U是R+×

7、Xα中的一個開集，Xα是對D（Aα）賦以‖x‖α=‖ Aαx‖的一個Banach空間，f:U→Xα，對于每一個(t，x)∈U，有一個鄰域V(∈)U及常數(shù)L≥0，0≤θ≤1.使得對任意（ti，xi）∈V,i=1，2，都有‖f(t1,x1)-f(t2,x2)‖≤ L(|t1-t2|θ+‖ x1-x2‖α).
　　(B3)存在一個連續(xù)非遞減的實(shí)值函數(shù)k(t)，使得‖ f(t,x)‖≤ k(t)(1+‖x‖α),t≥t0,x∈Xα.

8、>　　(B4)對于α＞0，g:Xα→Xα連續(xù)且滿足‖ g(u1)-g(u2)‖α≤M‖u1-u2‖α,(V)u1,u2∈Xα.
　　(B5)1-CαT1-α/1-α＞0且|(1-α)MN/1-α-LCαT1-α|＜1.則下列問題有唯一解.｛du/dt+ Au(t)=f(t，u(t))，t∈(0，T)，(1.2)u(t0)=g(u).
　　本文的第二章討論有關(guān)強(qiáng)連續(xù)半群生成元預(yù)解式的性質(zhì).
　　強(qiáng)連續(xù)算子半群生成元預(yù)解式

9、沿一條垂直線的性質(zhì)可以刻畫算子半群的性質(zhì).例如，在Hilbert空間中T(t)立刻范數(shù)連續(xù)等價于生成元預(yù)解式沿某條垂直線衰減到零([10]);在Hilbert空間中T(t)，(‖ T(t)‖≤Meωt)對t＞t0≥0范數(shù)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對某個μ＞ωlim|τ|→∞‖R(μ+i(τ);A)T(t0)‖=0([11]);在Hilbert空間中如果ω＜0，T(t)最終范數(shù)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)存在C＞0使得limsup|s|→+∞‖n!Rn(is; A)‖

10、1/n≤C,(V)n∈N([12]);在Banach空間中T(t)是解析的當(dāng)且僅當(dāng)存在C＞0和δ＞0使得對每一個σ＞ω+δ，τ≠0，‖R(σ+i(τ);A)‖≤C|(τ)|([2]);在Banach空間中如果對某個μ＞ωlimsup|τ|→+∞ln|(τ)|·‖R(μ+ i(τ);A)‖=C＜+∞，那么T(t)對t＞3C可微（見[2]）;空間Lp(Ω，v)(1＜p＜+∞)上的正半群T(t)立刻范數(shù)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對某個α＞s（A）（無窮小生

11、成元A的譜界）lim|(τ)|→+∞‖R（α+i(τ);A）‖=0;([13])等等.本文的主要結(jié)果有:
　　定理2.1設(shè)A是Banach空間上滿足‖T(t)‖≤Meωt的C0半群T(t)的無窮小生成元.則對任意σ＞ω，x∈D(A)，存在正數(shù)b、C使得：
　　(i)‖R(σ+i(τ);A)‖≥C|(τ)|，|(τ)|≥b;
　　(ii)‖R(σ+i(τ);A)x‖=O（1/|(τ)|）當(dāng)|τ|→+∞.
　　定理2