利用算子半群理論看熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解的存在性

1、<p>　　利用算子半群理論看熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解的存在性</p><p>　　蔡園青 PB06001093</p><p>　　在偏微分發(fā)展的歷史上，人們?yōu)榱饲蠼飧黝?lèi)方程發(fā)展了不同的方法，比如Fourier變換法，Laplace變換法等等。而作為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)，后出現(xiàn)的理論往往是從一個(gè)更高的層面上去看前面的理論。比如說(shuō)代數(shù)中用模的理論去看待Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，從而引伸出更

2、加深刻的結(jié)果。在偏微分發(fā)展的理論中，算子半群理論就是在一定高度上去看待偏微分方程可解性的一個(gè)工具。</p><p>　　算子半群方法是求解偏微分方程中的發(fā)展方程（包括熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程、拋物型方程、雙曲型方程、Schrodinger方程等）。它可以用來(lái)求解線(xiàn)形與非線(xiàn)性發(fā)展方程的定解問(wèn)題。接下來(lái)，本人將利用自己這學(xué)期所學(xué)的泛函分析的知識(shí)，利用算子半群理論來(lái)考慮熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題的求解。</p>

3、<p>　　一、算子半群的定義及原型</p><p>　　設(shè)是一個(gè)Banach空間。一族到它自身的有界線(xiàn)性算子稱(chēng)為一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群（簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)連續(xù)半群）是指：</p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?），；</b></p><p><b>　　

4、（3）在模下連續(xù)。</b></p><p>　?。?）稱(chēng)為半群條件，（3）稱(chēng)為連續(xù)條件。另外，聯(lián)合（1）、（2）可以推出（3）等價(jià)于下面的條件：</p><p><b>　?。?），當(dāng)。</b></p><p>　?。?）成為在點(diǎn)處的連續(xù)條件。</p><p>　　算子半群在微分方程、概率論（馬氏過(guò)程）、系統(tǒng)

5、理論、逼近輪和量子理論是經(jīng)常出現(xiàn)的。下面給出兩個(gè)例子說(shuō)明其原型。</p><p>　　來(lái)自常微分方程的例子。</p><p>　　設(shè)是一個(gè)實(shí)矩陣，方程組</p><p>　　在空間中解存在唯一。設(shè)，考察映射</p><p><b>　　。</b></p><p>　　那么由解的存在性，有定義。它們

6、顯然是線(xiàn)性算子，并且由解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性，他們是有界的。</p><p>　　容易驗(yàn)證滿(mǎn)足強(qiáng)連續(xù)半群的條件。實(shí)際上，條件（1）為初值定義所蘊(yùn)含，條件（2）由方程平移不變性和唯一性保證，條件（3）由解的連續(xù)性推出。</p><p>　　另一方面，在常微分理論中，我們可以將具體寫(xiě)出來(lái)：</p><p><b>　　。</b></p>

7、<p>　　由上式可以看出算子半群與矩陣的關(guān)系：可以通過(guò)的指數(shù)表達(dá)出來(lái)。</p><p><b>　　再看熱傳導(dǎo)方程。</b></p><p>　　在中考察熱傳導(dǎo)方程：</p><p>　　利用分離變量法，其解為</p><p><b>　　，</b></p><p&

8、gt;<b>　　其中，。</b></p><p>　　若，方程的解將會(huì)在時(shí)絕對(duì)收斂。而且關(guān)于或逐項(xiàng)求導(dǎo)所得級(jí)數(shù)均內(nèi)閉一致收斂。</p><p>　　同樣的考慮，固定，將方程的解看作從到的一個(gè)映射，記為，則。于是對(duì)，為到的一個(gè)線(xiàn)性映射，而且容易看出這是有界的。</p><p><b>　　又對(duì)</b></p>

9、<p><b>　　于是，</b></p><p><b>　　而顯然又有。</b></p><p>　　又由積分的絕對(duì)收斂性及極限函數(shù)與賦值的可交換性，當(dāng)時(shí)，</p><p>　　由此知算子族構(gòu)成單參數(shù)連續(xù)半群。</p><p>　　在第一個(gè)例子中我們看到，可以通過(guò)的指數(shù)表達(dá)出來(lái)，那么

10、對(duì)于第二個(gè)例子甚至是其他的例子，是否也有類(lèi)似的關(guān)系。這個(gè)問(wèn)題的回答依賴(lài)于無(wú)窮小生成元的定義及著名的Hille-Yosida- Philips定理。</p><p>　　二、無(wú)窮小生成元及Hille-Yosida- Philips定理</p><p>　　設(shè)是一個(gè)Banach空間。是上一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群，令</p><p>　　并按下列方式定義上算子：</p&g

11、t;<p>　　算子成為上的無(wú)窮小生成元。</p><p>　　無(wú)窮小生成元有以下比較好的性質(zhì)：</p><p>　?。?）稠定性，線(xiàn)性性</p><p>　　（2）將映入到內(nèi)，并且當(dāng)時(shí)，</p><p>　　容易看出對(duì)于上面的第一個(gè)例子，矩陣是算子半群的無(wú)窮小生成元。在第二個(gè)例子中，這個(gè)問(wèn)題變得不明顯。實(shí)際上，對(duì)于一般的問(wèn)題，

12、Hille-Yosida-Philips定理給了一個(gè)很好的回答。</p><p>　?。℉ille-Yosida-Philips）為了一個(gè)線(xiàn)性稠定閉算子成為一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群的無(wú)窮小生成元，必須且僅須：</p><p><b>　　（1），使得</b></p><p><b>　　；</b></p><

13、p><b>　　（2），使得當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　我們利用Hille-Yosida-Philips定理再來(lái)考慮熱傳導(dǎo)方程。</p><p>　　記，令，，則可以擴(kuò)張成一個(gè)的閉算子，記為，此時(shí)定義域?yàn)?。由Garding不等式，存在常數(shù)，，使得，</p><p><b>　　，</b></p>

14、<p>　　其中是模。于是當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中。所以</b></p><p>

15、<b>　　。</b></p><p>　　因此。于是由Hille-Yosida-Philips定理知是一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群的生成元。當(dāng)時(shí)，初邊值問(wèn)題有解</p><p><b>　　事實(shí)上，</b></p><p>　　即為原方程的解。于是這就從算子半群的角度證明了熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解的存在性。</p>&

16、lt;p>　　從這個(gè)例子可以看出算子半群方法在偏微分方程中的威力。實(shí)際上，這也只是泛函分析方法在偏微分方程中的應(yīng)用的冰山一角。相信隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，會(huì)由越來(lái)越多的泛函分析工具為偏微分方程注入更強(qiáng)大的活力。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]泛函分析講義（下冊(cè)）.張恭慶 郭懋正.北京.北京大學(xué)出版社.2003</p>