常微分方程試題庫試卷庫

1、第 1 頁常微分方程期終考試試卷(1)一、 填空題（30%）1, 方程 ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy ? ? 有只含 x 的積分因子的充要條件是（ ） 。有只含y 的積分因子的充要條件是。 ２, 稱為黎卡提方程，它有積分因子。 ３, 稱為伯努利方程，它有積分因子。４, 若 1 2 ( ), ( ), , ( ) n X t X t X t ? 為n 階齊線性方程的n 個(gè)解，則它們

2、線性無關(guān)的充要條件是。５, 形如的方程稱為歐拉方程。６, 若 ( ) t ? 和 ( ) t ? 都是' ( ) x A t x ? 的基解矩陣，則 ( ) t ? 和 ( ) t ? 具有的關(guān)系是。７, 當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共軛虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為。 二, 計(jì)算題（６０％）1, 3 ( ) 0 ydx x y dy ? ? ?２, sin cos2 x x t t ?? ? ? ?

3、３, 若2 11 4 A ? ? ? ? ? ? ? ? 試求方程組 x Ax ? ? 的解12( ), (0) t ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 并求４, 3 2 ( ) 4 8 0 dy dy xy y dx dx ? ? ?５, 求方程2 dy x y dx ? ?經(jīng)過（0，0）的第三次近 似解6.求1, 5 dx dy x y

4、 x y dt dt ? ? ? ? ? ? ?的奇點(diǎn),并推斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.三, 證明題（１０％）１, n 階齊線性方程肯定存在n 個(gè)線性無關(guān)解。常微分方程期終試卷(2)一, 填空題 30%1、 形如的方程，稱為變量分別方程，這里. ) ( ). ( y x f ? 分別為的連續(xù)函數(shù)。2、 形如的方程，稱為伯努利方程，這里 x x Q x P 為 ) ( ). ( 的連續(xù)函數(shù)，可化為線性方程。 是常數(shù)。引入變量變換 ? ?

5、? ? ? ? ? ? 1 . 03、 假如存在常數(shù) 使得不等式 , 0 ? L 對(duì)于全部稱為利普希茲常數(shù)。 都成立， （ L R y x y x ? ) , ( ), , 2 1 函數(shù) ) , ( y x f 稱為在 R 上關(guān)于 y滿意利普希茲條件。4、 形如的方程，稱為歐拉方程，這里 是常數(shù)。 , , 2 1 a a5、 設(shè) 是 的基解矩陣， 是 ) ( ) ( t Ax x t ? ? ? ? ) ( ) ( t f x t A

6、x ? ? ? 的某一解，則它的任一解 可表為 ) (t ? 。二、 計(jì)算題 40%1.求方程的通解。 2 6 xy xydxdy ? ?2.求程xy e xydxdy ? ?的通解。3.求方程t e x x x 2 5 ' 6 ' ' ? ? ? 的隱式解。 4.求方程）的第三次近似解。 、 通過點(diǎn)（ 0 0 2 y x dxdy ? ?三、 證明題 30%第 3 頁４, 0 ? ? ? ? ? ? x x

7、 x 。５, t e x x ? ? ? ? ? 。試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，進(jìn)一步推斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性：６, 5 , ! ? ? ? ? ? ? ? y x dt dy y x dt dx。三, 證明題。 １、 １, 設(shè) ) (t ? 為方程 Ax x ? ? （Ａ為 n n? 常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即 ) ) 0 ( E ? ? ，證明 ) (t ? ) ( ) ( 0 01 t t t ?

8、 ? ? ? ? 其中 0 t 為某一值。常微分方程期終考試試卷（5）一． 填空題 （30 分）1．) ( ) ( x Q y x P dxdy ? ?稱為一階線性方程，它有積分因子 ? ? dx x P e) (，其通解為 。2．函數(shù) ) , ( y x f 稱為在矩形域 R 上關(guān)于 y 滿意利普希茲條件，假如 。3． 若 ) (x ? 為畢卡靠近序列? ? ) (x n ? 的極限，則有 ) ( ) ( x x n ? ?

9、? ? 。4．方程2 2 y x dxdy ? ?定義在矩形域 2 2 , 2 2 : ? ? ? ? ? ? y x R 上，則經(jīng)過點(diǎn)（0，0）的解的存在 區(qū)間是 。5．函數(shù)組t t t e e e 2 , , ?的伏朗斯基行列式為 。6．若 ) , , 2 , 1 )( ( n i t xi ? ? 為齊線性方程的一個(gè)基本解組， ) (t x?為非齊線性方程的一個(gè)特解，則非齊線 性方程的全部解可表為 。7．若 ) (t ?

10、是 x t A x ) ( ' ? 的基解矩陣，則向量函數(shù) ) (t ? = 是 ) ( ) ( ' t f x t A x ? ? 的滿意初始條件0 ) ( 0 ? t ? 的解；向量函數(shù) ) (t ? = 是 ) ( ) ( ' t f x t A x ? ? 的滿意初始條件 ? ? ? ) ( 0 t 的解。8．若矩陣 A 具有n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 n v v v , , , 2 1 ? ，它們對(duì)應(yīng)

11、的特征值分別為 n ? ? ? ? , , 2 1 ，那么矩陣 ) (t ? = 是常系數(shù)線性方程組 Ax x ? ' 的一個(gè)基解矩陣。9．滿意 的點(diǎn) ) , ( * * y x ，稱為駐定方程組。二． 計(jì)算題 （60 分）10．求方程 0 ) 1 ( 2 4 3 2 2 ? ? ? dy y x dx y x 的通解。11．求方程0 ? ? ? x e dxdy dxdy的通解。12．求初值問題 ? ?? ? ??

12、?? ?0 ) 1 (2 2yy x dxdy1 , 1 1 : ? ? ? y x R 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出 在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。13．求方程 t t x x 3 sin 9 ' ' ? ? 的通解。14．試求方程組 ) ( ' t f Ax x ? ? 的解 ). (t ?15．試求線性方程組5 2 , 19 7 2 ? ? ? ? ? ? y x dtdy y x dtdx的奇點(diǎn)，并