第8章常微分方程

1、第8章　常微分方程,實際中，很多問題的數(shù)學(xué)模型都是微分方程。我們可以研究它們的一些性質(zhì)。但是，只有極少數(shù)特殊的方程有解析解。對于絕大部分的微分方程是沒有解析解的。,常微分方程作為微分方程的基本類型之一，在自然界與工程界有很廣泛的應(yīng)用。很多問題的數(shù)學(xué)表述都可以歸結(jié)為常微分方程的定解問題。很多偏微分方程問題，也可以化為常微分方程問題來近似求解。,本章討論常微分方程的數(shù)值解法,對于一個常微分方程：,通常會有無窮個解。如：,因此，我們要加入一個

2、限定條件。通常會在端點出給出，如下面的初值問題：,為了使解存在唯一，一般，要加限制條件在f上，要求f對y滿足Lipschitz條件：,常微分方程的解是一個函數(shù)，但是，計算機沒有辦法對函數(shù)進行運算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點的近似值。,例：我們對區(qū)間做等距分割：,設(shè)解函數(shù)在節(jié)點的近似為,由數(shù)值微分公式，我們有,，則：,向前差商公式,可以看到，給出初值，就可以用上式求出所有的,基本步驟如下：,③ 解差

3、分方程，求出格點函數(shù),① 對區(qū)間作分割：,求y(x)在xi上的近似值yi。,稱為分割,上的格點函數(shù),數(shù)值方法，主要研究步驟②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性質(zhì)。,這種方法 ，稱為數(shù)值離散方法。求的是在一系列離散點列上，求未知函數(shù)y在這些點上的值的近似。,我們的目的，就是求這個格點函數(shù),為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實用價值，需要知道如下幾個結(jié)論：,① 收斂性問題,② 誤差估計,③ 穩(wěn)定性問題,步長充分小時，所得到的數(shù)值

4、解能否逼近問題的真解；,舍入誤差，在以后各步的計算中，是否會無限制擴大；,,8.1 Euler公式,做等距分割，利用數(shù)值微分代替導(dǎo)數(shù)項，建立差分方程。,1、向前差商公式,所以，可以構(gòu)造差分方程,稱為局部截斷誤差。顯然，這個誤差在逐步計算過程中會傳播，積累。因此還要估計這種積累,,,,,,,,,記為,2、收斂性,考察局部誤差的傳播和積累,稱為整體截斷誤差,,是1階方法,3、穩(wěn)定性－誤差在以后各步的計算中不會無限制擴大。,我們考慮簡單情況：

5、僅初值有誤差，而其他計算步驟無誤差。,設(shè),是初值有誤差后的計算值，則,所以，我們有：,可以看出，向前差商公式關(guān)于初值是穩(wěn)定的。當(dāng)初始誤差充分小，以后各步的誤差也充分小,4、向后差商公式,是隱格式，要迭代求解,可以由向前差商公式求出,5、中心差商公式,是多步，2階格式，該格式不穩(wěn)定,6、梯形法－基于數(shù)值積分的公式,對微分方程,做積分，則：,類似，可以算出其誤差估計式：,2階的方法,所以，有格式為：,是個隱式的方法，要用迭代法求解,局部截斷

6、誤差,? 基于數(shù)值積分的構(gòu)造法,,若積分,用節(jié)點,作為積分點，則,,積分系數(shù),這是顯格式，q+1階r+1步格式。r=max{p,q},若以xn+1, xn+1,…, xn-q+1 為積分節(jié)點，可以構(gòu)造r+1步q+1階隱格式,局部截斷誤差,例：建立p=1,q=2的顯格式,p=1，,q=2，顯格式，,積分區(qū)間為,積分節(jié)點為,所以,誤差分析,,例：建立p=2,q=2的隱格式,p=2，,q=2，隱格式，,積分區(qū)間為,積分節(jié)點為,所以,它的截斷誤

7、差較 顯格式 小，通常也具有更好的穩(wěn)定性。,? Adams公式 －－ p=0 時候的多步法,參見書,線性多步法,用若干節(jié)點處的 y 及 y’ 值的線性組合來近似y(xn+1)。,其通式可寫為：,,當(dāng) ??1?0 時，為隱式公式; ??1=0 則為顯式公式。,,由Taylor展開,記為,所以，可以構(gòu)造格式,這種格式使用到了各階偏導(dǎo)數(shù)，使用不便。,如何起步？如何得到高精度、單步的格式？,從另一個角度看，,取(xn,y(xn))及其附近的

8、點做線性組合，表示F，問題就好辦了。當(dāng)然，要求此時的展開精度相同。這種方法稱為Runge－Kutta法,8.2 Runge－Kutta法,,在(xn,y(xn))處展開，,比較,以2階為例，設(shè),有：,1、改進的Euler公式,2、Heun公式,一般的Runge－Kutta法構(gòu)造,常見的為3階，4階公式,? 最常用為四級4階經(jīng)典龍格-庫塔法 ：,Lab07 常微分方程,3.用如上程序求常微分方程,分別取步長h=0.1,0.1/2,0.

9、1/4,0.1/8計算y(1.5)，并與精確解比較,1.經(jīng)典4階Runge-Kutta方法解常微分方程的通用程序,2.Adams隱式3階方法解常微分方程的通用程序(由1提供初值),4.給出誤差和誤差階。簡單分析數(shù)據(jù),Sample Output (? represents a space)Runge-Kutta法，誤差和誤差階為k=0?,?0.244934066848e00k=1?,?0.534607244904e-01, 3.

10、90...Adams隱格式，誤差和誤差階為k=0?,?0.244934066848e00k=1?,?0.534607244904e-01 , 3.01...,§8.4 方程組和高階方程的數(shù)值解法,寫成向量的形式：,各種方法都可以直接運用過來。,Euler公式,以兩個方程的方程組為例,Runge-Kutta公式,,1、,2、確定方法，然后求解,（0.20276 0.0881157）（0.213007 0.0

11、934037）（0.223763 0.0988499）（0.235052 0.104437）（0.246902 0.110146）,4階Runge-Kutta法，h=1,高階方程,則有：,令,例：考察初值問題 在區(qū)間[0, 0.5]上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進的歐拉格式計算數(shù)值解。,1.0000?2.0000 4.0000?8.0000

12、1.6000?101 ?3.2000?101,1.00002.5000?10?1 6.2500?10?21.5625?10?23.9063?10?39.7656?10?4,1.00002.50006.25001.5626?1013.9063?1019.7656?101,1.00004.9787?10?22.4788?10?31.2341?10?46.1442?10?63.0590?10?7,出了什么問題

13、 ??!,§8.5 差分方程的絕對穩(wěn)定性,顯然，這個誤差不僅于差分格式有關(guān)，而且與微分方程本身有關(guān)。如果微分方程本身是不穩(wěn)定，那就沒理由要求這2組解充分接近。因此，差分方程的穩(wěn)定性概念是建立在微分方程穩(wěn)定的基礎(chǔ)上的。,考慮最簡單的模型：只有初值產(chǎn)生誤差，看看這個誤差的傳播。,把這個典型微分方程規(guī)定為：,差分方程運用到如上的微分方程后，可以得到,對于給定的初始誤差,，誤差方程具有一樣的形式,對于一般的差分方程,定義：差分方程稱為