第六章常微分方程

1、第六章 常微分方程,— 不定積分問題,,— 微分方程問題,推廣,6.1 微分方程的基本概念,6.2 一階微分方程,6.3 二階微分方程,6.4 用Matlab軟件解二階常系數(shù) 非齊次微分方程,6.1 微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,,,幾何問題,物理問題,解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:,①,(C為任意常數(shù)),由 ② 得 C = 1,,因此所求曲線方程為,,②,

2、由 ① 得,例1 一曲線通過點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任意點(diǎn) 處的切線斜率為2x，求這曲線的方程。,例2 質(zhì)量為m的物體從空中自由下落，若略去空氣阻力．求物體下落的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系s(t)。,常微分方程,偏微分方程,1.含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程 .,2.微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)叫做微分方程的階.,(本章內(nèi)容),微分方程的基本概念,,分類,例如

3、 為二階微分方程,3.代入微分方程后，能使之成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解 .,4.用來確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件.,微分方程的基本概念,5.尋求微分方程的解的過程稱為解微分方程.,6.2一階微分方程,6.2.1可分離變量的微分方程,6.2.2一階線性微分方程,6.2.1可分離變量的微分方程,一、可分離變量的微分方程,,例3 (細(xì)菌繁殖模型)在一個(gè)理想的環(huán)境中，細(xì)胞的

4、繁殖率與細(xì)菌的數(shù)目成正比，若 時(shí)細(xì)菌的數(shù)目為 ，求系統(tǒng)的細(xì)菌繁殖規(guī)律。,解： 設(shè) 示在 時(shí)刻細(xì)菌數(shù)目，依題意有,例4（自然生長模型） 表示一種生物在時(shí)間t時(shí)種群總數(shù)，開始時(shí)種群總數(shù)分別表示該總?cè)旱某錾屎退劳雎?，?shí)踐證明,其中r>0，k>0，試求該種群的自然,生長規(guī)律。,由 確定常數(shù)C，則可得生物總?cè)鹤匀辉鲩L規(guī)律：,此式稱為Logistic方程，顯然當(dāng)其曲線圖為,例5

5、（腫瘤生長模型）設(shè) 是腫瘤體積。免疫系統(tǒng)非常脆弱時(shí)，V呈指數(shù)式增長，但V長大到一定程度后，因獲取的營養(yǎng)不足使其增長受限制。描述V的一種數(shù)學(xué)模型是：,是腫瘤可能長到的最大體積，確定腫瘤生長規(guī)律,解：分離變量,兩邊積分,由初始條件 ，可確定 ，,故特解是,即,此為貢柏茨方程,此為貢柏茨方程圖形,二、可化為分離變量的某些方程*,1. 齊次方程 形如,令,代入原方

6、程得,兩邊積分, 得,積分后再用,代替 u,,便得原方程的通解.,解法:,分離變量:,例6. 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通解為,( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解),( C 為任意常數(shù) ),例7. 解微分方程,分離變量，再兩邊積分,將u帶回得,例8. 求方程 的通解,6.2.2一階線性微分方程,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若 Q(

7、x) ? 0,,稱為非齊次方程 .,稱為齊次方程 ;,定義3 如果方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（微分）的最高階數(shù)是一階的，且所含未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)（微分）都是一次冪的，則稱這種方程為一階線性微分方程。,一、一階線性微分方程,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,這里 僅表示p(x)的一個(gè)原函數(shù),2. 解非齊次方程,改寫為,兩邊積分,令,齊次方程通解,非齊次方程特解,故原方程的通解,,,即,兩端積分得,1.齊

8、次方程 通解為：,２.非齊次方程 　　通解為：,例9 用常數(shù)變易法求一階線性方程通解,例10 用通解公式求一階線性方程的通解,當(dāng) x<0 時(shí),例11 (飲食與體重模型)某人每天從食物中獲取10500J熱量，其中5040J用于基礎(chǔ)代謝。他每天的活動(dòng)強(qiáng)度，相當(dāng)于每千克體重消耗67．2J.此外，余下的熱量均以脂肪的形式儲(chǔ)存起來，每42000 J可轉(zhuǎn)化為1k

9、g脂肪。問：這個(gè)人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的，會(huì)達(dá)到平衡嗎?,解：依題意，進(jìn)食增加10500/42000=0.25kg 基礎(chǔ)代謝5040/42000=0.12kg 活動(dòng)消耗67.2w/42000=0.0016wkg,例12（藥代動(dòng)力學(xué)模型）假定藥物以恒定速率K0向一個(gè)同質(zhì)單元進(jìn)行靜脈滴注， K0的單位為單位時(shí)間的藥量，并且藥物在同質(zhì)單元內(nèi)按一級(jí)消除速率

10、常數(shù)K的過程消除。K的單位為時(shí)間的倒數(shù)。試求此系統(tǒng)藥物隨時(shí)間變化規(guī)律。,例13（細(xì)菌繁殖非理想環(huán)境模型），除系統(tǒng)本身的繁殖外有的細(xì)菌向系統(tǒng)外遷移，其遷移速率是時(shí)間t的線性函數(shù)，即At+B，系統(tǒng)內(nèi)繁殖率與細(xì)菌的數(shù)目成正比，并假定t=0時(shí)，測(cè)得的細(xì)菌的數(shù)目為x(0)，求系統(tǒng)的細(xì)菌繁殖規(guī)律,二、伯努利 ( Bernoulli )方程*,伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,令,,求出此方程通解后,,除方程兩邊 , 得,換回原變量即得伯努利方程的通解.,解法

11、:,(線性方程),,例14 求方程 的通解,解：這是伯努力方程 ，其中,課堂練習(xí)題:求,的特解,( 雅各布第一 · 伯努利 ),書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,,伯努利(1654 – 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,,位數(shù)學(xué)家.,標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,,1695年,版了他的巨著《猜度術(shù)》,,上的一件大事,,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,年提

12、出了著名的伯努利方程,,,他家祖孫三代出過十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數(shù)學(xué)與概率論史,此外, 他對(duì),雙紐線, 懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究 .,6.3.1 可降階高階微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、 型的微分方程,令

13、 則,兩端積分得,則,再積分，得通解,例15 求方程的通解,積分一次得,最后積分得,型的微分方程,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,例16求方程 滿足初始條件 的特解。,,用

14、代替 ，得,積分得,代入初始條件,得,故特解是,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,例17. 求解,故所求通解為,解:,原始可寫為,兩端積分得,可降階微分方程的解法,—— 降階法,逐次積分,令,令,6．3．2二階線性常系數(shù)齊次方程,[定義5] 如果方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù)是二階的，且所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)(或微分)都是一次冪的，則稱這種方程為二階線性微分方程，一

15、般形式為：,稱之為二階線性齊次方程；,稱之為二階線性非齊次方程,[定理1] 若函數(shù) 和 是二階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)解，則其線性組合 也是該方程的解。其中Cl、C2是兩個(gè)任意常數(shù)。,[定理2] 若 和 是二階線性常系數(shù)齊次 微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則 －－－－－－－ 就是該方程的通解．其中C1

16、和C2是兩個(gè)任意常數(shù)。,[定理3]設(shè) 是二階線性非齊次方程的一個(gè)特解， 是其對(duì)應(yīng)的二階線性齊次方程的通解，則 是二階線性非齊次方程的通解。,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,,代入①得,稱②為微分方程①的特征方程,,( r 為待定常數(shù) ),,,①,所以令①的解為,②,其根稱為特征根.,1. 當(dāng),時(shí), ②有兩個(gè)相異實(shí)根,方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:,因此方程的通解為,則微分,,,故所求特解是,2.

17、 當(dāng),時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,,,注意 是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,,,,,,,例19 求微分方程 的通解。,3. 當(dāng),時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:,因此原方程的通解為,例20 求微分方程