第六章 非線性微分方程

1、第六章第六章非線性微分方程非線性微分方程教學(xué)目的教學(xué)目的：使學(xué)生重點(diǎn)掌握二維自治系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類及其附近的軌線分布；理解穩(wěn)定性概念及其判定定理，會應(yīng)用穩(wěn)定性概念、線性化系統(tǒng)的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性；了解周期解和極限環(huán)的概念教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容：1、存在唯一性定理、穩(wěn)定性2、相平面相平面、奇點(diǎn)分類、按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性3、Liapunov第二方法Liapunov第二方法4、極限圈周期解、極限環(huán)教學(xué)重

2、難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)：奇點(diǎn)的分類與相應(yīng)零解的穩(wěn)定性教學(xué)過程教學(xué)過程：6.1穩(wěn)定性穩(wěn)定性6.1.1常微分方程組的存在唯一性定理常微分方程組的存在唯一性定理本章討論非線性常微分方程組nRYYtGdtdY??)(（6.1）的解的性態(tài).設(shè)給定方程組（6.1）的初值條件為，00)(YtY?（6.2）考慮包含點(diǎn)的某區(qū)域)()(02010000nyyytYt??.bYYattR????00:在這里的范數(shù)定義為.所謂在域上關(guān)于滿足局部利普希YY???niiy

3、Y12)(YtGGY茨條件是指：對于內(nèi)任一點(diǎn)，存在閉鄰域，而于上關(guān)于滿G)(00YtGR?)(YtGRY足利普希茨條件，即存在常數(shù)，使得不等式0?LYYLYtGYtG???~)()~(（6.3）.))(())(()()()(ttGtXtGdttdYtGXtF????????此時顯然有0)0(?tF（6.8）而把方程組（6.1）的特解變?yōu)榉匠探M（6.7）的零解.于是，問題就化為)(tY??0?X討論方程組（6.7）的零解鄰近的解的性態(tài).0

4、?X駐定微分方程常用的特解是常數(shù)解，即方程右端函數(shù)等于零時的解，如方程（6.4）的特解.微分方程的常數(shù)解，又稱為駐定解駐定解或平衡解平衡解.)()(21tyty考慮微分方程組（6.7），假設(shè)其右端函數(shù)滿足條件（6.8）且在包含原點(diǎn)的)(XtF域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，從而滿足解的存在唯一性、延拓、連續(xù)性和可微性定理的條件.G定義定義1如果對任意給定的，存在，使當(dāng)任一0??)(00有關(guān)和一般與t????0X滿足時，方程組（6.7）的由初值條件確

5、定的解，對一切??0X00)(XtX?)(tX0tt?均有.??)(tX則稱方程組（6.7）的零解為穩(wěn)定穩(wěn)定的.0?X如果（6.7）的零解穩(wěn)定穩(wěn)定，且存在這樣的使當(dāng)時，滿足初值條0?X00??00??X件的解均有00)(XtX?)(tX，0)(lim????tXt則稱方程組（6.7）的零解為漸近漸近穩(wěn)定穩(wěn)定的.0?X如果零解漸近漸近穩(wěn)定，穩(wěn)定，且存在域，當(dāng)且僅當(dāng)時滿足初值條件0?X0D00DX?的解均有，則域稱為（漸近）漸近）穩(wěn)定穩(wěn)定或

6、吸引域吸引域.若穩(wěn)定域00)(XtX?)(tX0)(lim????tXt0D為全空間，即，則稱零解為全局全局漸近漸近穩(wěn)定穩(wěn)定的或簡稱全局穩(wěn)定全局穩(wěn)定的.???0?0?X當(dāng)零解不是穩(wěn)定時，稱它是不穩(wěn)定的.即是說：如果對某個給定的不管0?X0??怎樣小，總有一個滿足，使由初值條件所確定的解0??0X??0X00)(XtX?)(tX，至少存在某個使得01tt?，??)(1tX則稱方程組（6.7）的零解為不穩(wěn)定穩(wěn)定的.0?X二維情形零解的穩(wěn)定性