常微分方程理論的形成.pdf

1、常微分方程理論從創(chuàng)立至今已有300多年的歷史了，作為一門理論意義和實際應(yīng)用并重的學(xué)科，現(xiàn)已與其他學(xué)科不斷交叉融合形成一些新的分支和增長點。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，利用歷史分析、比較研究的方法，兼顧思想內(nèi)容和具體方法，對常微分方程理論的形成進行研究，主要成果為： (1)考察了微分方程理論產(chǎn)生的社會、生產(chǎn)和科學(xué)背景，分析了17世紀力學(xué)、物理學(xué)、幾何學(xué)和聲學(xué)等自然科學(xué)與數(shù)學(xué)的緊密結(jié)合對微分方程學(xué)科萌芽的刺激作用。 (2)深入探

2、究了常微分方程在微積分創(chuàng)立過程中的原始形態(tài)和研究狀況。牛頓是第一位開始求解微分方程的數(shù)學(xué)家，萊布尼茨則首次提出數(shù)學(xué)名詞“微分方程”。本文重點考察了牛頓首創(chuàng)的級數(shù)法和他最先提出并應(yīng)用于三體問題求解的參數(shù)變易思想，剖析了萊布尼茨解決與曲線有關(guān)的問題過程中微分三角形與微分方程的巧妙聯(lián)合。指出：正是這些工作使微分方程從微積分研究中初露端倪，預(yù)示它即將作為一門新的分析分支登上數(shù)學(xué)舞臺。 (3)集中論述了17、18世紀數(shù)學(xué)史上興起的五大公開

3、挑戰(zhàn)問題在常微分方程理論起源中的重要作用，分別指出：等時間題的提出使“積分”第一次被賦予數(shù)學(xué)意義而開始使用于微分方程求解；懸鏈線問題標(biāo)志著探尋微分方程求解技術(shù)的發(fā)端；雙曲線積分的成功表示從形式到實質(zhì)上推進了求解技術(shù)的提高；最速降線問題是微分方程思想成功運用的最好范例；正交軌線問題增強了微分方程研究的理論色彩。 (4)系統(tǒng)分析了常微分方程從微積分中分離的過程，對求解一階特殊類型微分方程各種特殊解法的形成進行溯源，指出：從伯努利時代

4、起，微分方程開始被作為獨立的對象進行研究，微分方程學(xué)科逐步從微積分中分離出來，并為理論的形成作出鋪墊。 (5)對常微分方程理論的最終形成進行了深入研究，探討了18世紀常微分方程研究模式發(fā)生的轉(zhuǎn)變及其與常微分方程理論形成的關(guān)系，明確提出了常微分方程理論形成的標(biāo)志。本文認為：刺激微分方程理論形成的關(guān)鍵表現(xiàn)在四個方面：歐拉在1728年著手處理的降階問題、克萊洛在1734年深入研究的奇解問題、拉格朗日發(fā)現(xiàn)的伴隨方程以及1743年對常系數(shù)