第1講-常微分方程的物理背景

1、第一講: 微分方程的物理背景 ——?jiǎng)恿C(jī)制的數(shù)學(xué)模型 內(nèi)蒙古大學(xué)阿拉坦倉(cāng) 教 授alatanca@imu.edu.cn課件制作： 阿拉坦倉(cāng) 侯國(guó)林,1. 茶水的變涼,剛泡完的茶一喝會(huì)很燙，那什么時(shí)候喝呢？茶水是如何變涼的？你們能給出一個(gè)精確的時(shí)間嗎？,“……數(shù)學(xué)之所以有高聲譽(yù), 一個(gè)理由就是數(shù)學(xué)使得自然科學(xué)實(shí)現(xiàn)定理化, 給予自然科

2、學(xué)某種程度的可靠性” . ——愛因斯坦,熱茶什么時(shí)候喝可靠？用數(shù)學(xué)怎么回答？,茶水的溫度為時(shí)間t的一元函數(shù), 記為u(t).,(1),假設(shè)空氣的溫度恒為ua=24℃. 物體溫度的變化速度與物體和外界溫度的差值成比例.設(shè)比例系數(shù)為k (k>0),于是有,(1),公式(1)就是描述茶水變涼的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型.,像(1)那樣, 包含未知函數(shù)以及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)(微分)的等式, 稱為常微分方程.

3、,而出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 稱為微分方程的階.,常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0, 于是,是什么類型的函數(shù)？,像(2)那樣, 含有與方程的階數(shù)相同的任意獨(dú)立常數(shù)的解稱為通解.,(2),,假設(shè)環(huán)境溫度恒為ua=24℃, t=0時(shí)茶水的溫度為u0=90℃, 則c=66. 從而,k與物質(zhì)的特性有關(guān), 做實(shí)驗(yàn): 5分鐘后測(cè)得茶水的溫度為u1=30℃ , 則,,于是有,我們得到,,上式稱為方程(1)的特解 .,(3),,,特解的圖形為:,微分方程差

4、不多是和微積分同時(shí)產(chǎn)生的, 牛頓和萊布尼茲奠定微積分基本思想的同時(shí), 他們也于17世紀(jì)正式提出了微分方程的概念.,微分方程這么深?yuàn)W的知識(shí)是誰發(fā)現(xiàn)的呢？,萊布尼茲(1646-1716),德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家,牛頓(1643-1727),英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家,“如果說我比別人看得更遠(yuǎn)些, 那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟稀?

5、 —— 牛頓,對(duì)于牛頓而言, 一個(gè)“巨人”可能是開普勒.,牛頓研習(xí)了開普勒等天文學(xué)家的先進(jìn)思想, 提出了萬有引力定律和基于萬有引力定律的描述天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的牛頓二體運(yùn)動(dòng)方程.,牛頓二體運(yùn)動(dòng)方程就是常微分方程.,微分方程是與實(shí)際問題聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)分支, 他能對(duì)許多物理問題的動(dòng)力學(xué)機(jī)制進(jìn)行定性刻畫.,英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯和法國(guó)天文學(xué)家勒維烈使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)

6、現(xiàn)的海王星的位置等, 與后來的天文觀測(cè)誤差很小.,本講再通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型:,落體運(yùn)動(dòng),人口的增長(zhǎng),引入常微分方程的基本概念.,2. 落體運(yùn)動(dòng)？,,如果是自由落體, 真空環(huán)境, 即物體只受重力作用, 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 F=ma, 有:,,,(4),,其中 s=s(t) 是未知函數(shù).,g是一個(gè)常數(shù), 什么函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為一個(gè)常數(shù)呢？,,(5)為(4)的通解.,(5),自由落體的位移為雙曲線, 下降速度很快, 而且越來越快(只

7、要高度足夠高)!,如果是這樣, 高空跳傘豈不是很危險(xiǎn)？,絕對(duì)的真空環(huán)境是不存在的, 一般情況下, 物體的下落還要受到空氣阻力的影響!,設(shè)阻力與速度成正比, 比例系數(shù)為k>0,,阻力方向與運(yùn)動(dòng)方向相反, 于是:,,,于是得到如下方程模型:,(6),,(6),像(6)那樣, 未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)都是一次的方程稱為線性方程, 否則稱為非線性方程.,,3. 世界人口增長(zhǎng)的Logistic模型,某地區(qū)的人口總數(shù)N=N(t), 人口是

8、怎么增長(zhǎng)的？一個(gè)人能增長(zhǎng)嗎？,,(7),——馬爾薩斯（Malthus）人口律,,如果N(t0)=N0, 類似于方程(1)解的分析,(7)的解為,,指數(shù)增長(zhǎng), 人口大爆炸？,統(tǒng)計(jì)研究表明, 人口增長(zhǎng)與人口總數(shù)成正比, 并受與人口的平方成正比的負(fù)增長(zhǎng)率的限制, 即:,—— Logistic人口律,（8）,,,其中a>0, b>0, a>>b.,,,上述方程為非線性方程.,(8)式可改寫為,通過3個(gè)引例, 我

9、們介紹了常微分方程的物理背景. 一般地,n階微分方程的一般形式為:,（9）,這里 是,n階顯示微分方程的一般形式為:,,(10),如n=1時(shí), 變?yōu)?階微分方程 y'= f (x, y).,最后, 總結(jié)一下常微分方程在實(shí)際問題中應(yīng)用的過程:,實(shí)際問題,?求解方程,?常微分方程（建模）,?實(shí)際問題,一個(gè)例子比十個(gè)定理重要. —— 牛頓

10、,數(shù)學(xué)對(duì)觀察自然做出重要的貢獻(xiàn), 它解釋了規(guī)律結(jié)構(gòu)中簡(jiǎn)單的原始元素, 而天體就是用這些原始元素建立起來的. ——開普勒,實(shí)踐證明, 常微分方程數(shù)學(xué)正是研究天體運(yùn)動(dòng)機(jī)理的一門重要學(xué)問！,沒有哪門學(xué)科能比數(shù)學(xué) 更為清晰地闡明自然界的和諧性.