常微分方程試題庫試卷庫

1、常微分方程期終考試試卷 常微分方程期終考試試卷(1) (1)一、 填空題（30%）1、方程 ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy ? ? 有只含 x 的積分因子的充要條件是（ ） 。有只含 y 的積分因子的充要條件是______________。２、_____________稱為黎卡提方程，它有積分因子______________。 ３、__________________稱為伯努利方程，它有積

2、分因子_________。４、若 1 2 ( ), ( ), , ( ) n X t X t X t ? 為n 階齊線性方程的n 個解，則它們線性無關(guān)的充要條 件是__________________________。 ５、形如___________________的方程稱為歐拉方程。６、若 ( ) t ? 和 ( ) t ? 都是' ( ) x A t x ? 的基解矩陣，則 ( ) t ? 和 ( ) t ? 具有的關(guān)系是

3、_____________________________。 ７、當(dāng)方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為_________時，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng) 的奇點(diǎn)稱為___________。 二、計算題（６０％）1、3 ( ) 0 ydx x y dy ? ? ?２、 sin cos2 x x t t ?? ? ? ?３、若2 11 4 A ? ? ? ? ? ? ? ? 試求方程組 x Ax ? ? 的解12( ), (0) t ? ?

4、? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 并求 expAt４、3 2 ( ) 4 8 0 dy dy xy y dx dx ? ? ?５、求方程2 dy x y dx ? ?經(jīng)過（0，0）的第三次近似解6.求1, 5 dx dy x y x y dt dt ? ? ? ? ? ? ?的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.三、證明題（１０％）１、n 階齊線性方程一定存在n 個線性無關(guān)解。試卷答案一填空題１、( )M Ny x x N ?? ?

5、 ? ? ? ?( )M Ny x y M ?? ? ? ? ? ? ?２、 2 ( ) ( ) ( ) dy p x y Q x y R x dx ? ? ?y y z ? ?３、 ( ) ( ) n dy p x y Q x y dx ? ?( 1) ( ) ( , )n p x dx n u x y y e? ? ? ?４、解：方程可化為32 84dy y dx x dy y dx? ? ? ? ? ? ? ?令dy

6、p dx ?則有3 2 84p y x yp? ?（*）（*）兩邊對 y 求導(dǎo)：3 2 2 3 2 2 ( 4 ) (8 ) 4 dp y p y p y p y p dy ? ? ? ?即3 2 ( 4 )(2 ) 0 dp p y y p dy ? ? ?由2 0 dp y p dy ? ?得12 p cy ? 即2 ( ) p y c ?將 y 代入（*）2224c p xc? ?即方程的 含參數(shù)形式的通解為：22224( )c

7、p xcp y c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p 為參數(shù)又由3 2 4 0 p y ? ? 得12 3 (4 ) p y ? 代入（*）得：3 427 y x ?也是方程的解 ５、解： 0 021 0 02 2 52 0 04 10 7 2 5 11 83 0 002( ) 4 2 20( ) 4 400 20 2 20 4400 160xxxyx y xdxx x x y x dxx x x x x x x y x

8、 dx????? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????６、解：由1 05 0x yx y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得奇點(diǎn)（3，-2）令 X=x-3,Y=y+2 則dx x y dt dy x y dt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因為1 11 1? ?? =1+1 ? 0 故有唯一零解（0，0）由2 2 1 1 2 1 1 2 2 0 1 1? ? ? ? ? ?? ?