專題2 立方和(差)公式和(差)的立方公式(必講)(張俊)

1、專題二 專題二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 立方和（差）公式、和（差）的立方公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ； 2 2 ( )( ) a b a b a b ? ? ? ?（2）完全平方公式 。 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b ? ? ? ?我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ； 2 2 3 3 ( )(

2、) a b a ab b a b ? ? ? ? ?（2）立方差公式 ； 2 2 3 3 ( )( ) a b a ab b a b ? ? ? ? ?（3）三數(shù)和平方公式 ； 2 2 2 2 ( ) 2( ) a b c a b c ab bc ac ? ? ? ? ? ? ? ?（4）兩數(shù)和立方公式 ； 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 a b a a b ab b ? ? ? ? ?（

3、5）兩數(shù)差立方公式 。 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 a b a a b ab b ? ? ? ? ?對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。反過來，就可以利用上述公式對多項式進(jìn)行因式分解。例 1 計算：（1） ； 2 (3 2 )(9 6 4 ) y y y ? ? ?（2） ； 2 2 1 5 1 (5 )(25 ) 2 2 4 x y x xy y ? ? ?（3） 。 2 (2 1)(4 2 1) x

4、 x x ? ? ?分析： 分析：兩項式與三項式相乘，先觀察其是否滿足立方和（差）公式，然后再計算.解： 解：（1）原式= ； 3 3 3 3 (2 ) 27 8 y y ? ? ?（2）原式= ； 3 3 3 3 1 1 (5 ) ( ) 125 2 8 x y x y ? ? ?（3）原式= 。 3 2 2 3 2 8 4 2 4 2 1 8 8 4 1 x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?說明： 說明

5、：第（1） 、 （2）兩題直接利用公式計算.第（3）題不能直接利用公式計算，只好用多項式乘法法則計算，若將此題第一個因式中“+1”改成“-1”則利用公式計算；若將第二個因式中“ ”改成“ ”則利用公式計算；若將第二個因式 中“ ”改成“ 2x ? 2x ? 2x ?” ，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式計算 4x ?。 2 3 3 2 2 3 3 2 (2 1)(2 1) (2 1) (2 ) 3(2 ) 1 3(2 )

6、 1 1 8 12 6 1 x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例 2 計算：（1） ； 3 6 3 9 ( 1)( 1)( 1) x x x x ? ? ? ?（2） ； 2 2 ( 1)( 1)( 1)( 1) x x x x x x ? ? ? ? ? ?（3） ； 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 4 ) x y x xy y ? ? ?例４ 例４設(shè) ,試求 的值。 5,

7、1 x y xy ? ? ? ? 3 3 x y ?分析： 分析：對于立方和公式 ，我們不難把它變成： 3 3 2 2 ( )( ) a b a b a ab b ? ? ? ? ?，即 ，再應(yīng)用兩數(shù)和、兩 3 3 2 ( )[( ) 3 ] a b a b a b ab ? ? ? ? ? 3 3 3 ( ) 3 ( ) a b a b ab a b ? ? ? ? ?數(shù)積解題較為方便。解： 解： 。 3 3 3 3 ( ) 3 (

8、) 5 3 ( 1) 5 140 x y x y xy x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?說明： 說明：立方和（差）與和（差）的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。例 5 如果 的三邊 滿足 ，試判斷 ABC ? , , a b c 3 2 2 2 2 3 0 a a b ab ac bc b ? ? ? ? ? ? ABC ?的形狀。分析： 分析：直接看不出三角形邊之間的關(guān)系，可把左邊的多項式分解因式，變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)

9、系。解： 解：因為 ， 3 2 2 2 2 3 0 a a b ab ac bc b ? ? ? ? ? ?所以 ， 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 a b a b ab ac bc ? ? ? ? ? ? ? ?即 ， 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 0 a b a ab b ab a b c a b ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 2 ( )( c ) 0 a b a b ? ? ? ?所以 或 ，

10、 a b ? 2 2 2 a b c ? ?因此 是等腰三角形或直角三角形. ABC ?說明： 說明：此類題型，通常是把等式一邊化為零，另一邊利用因式分解進(jìn)行恒等變形.練習(xí) 練習(xí)1.計算：（1） ； 2 (4 )(16 4 ) a a a ? ? ?（2） ； 2 2 1 2 1 (2 )(4 ) 3 3 9 a b a ab b ? ? ?（3） ； 2 ( 1)( 1) x x x ? ? ? ?（4） 。 2 2 ( 2) ( 2