《實變函數(shù)》電子教案

1、重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院《實變函數(shù)》電子教案第 1 頁（共 119 頁）《實變函數(shù)》電子教案 《實變函數(shù)》電子教案（重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院 鄧志穎 鄧志穎）課程名稱： 課程名稱： 實變函數(shù)學(xué)時 學(xué)時/學(xué)分： 學(xué)分： 48/3.0教材名稱： 教材名稱： 實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）出 版 社： 社： 高等教育出版社編 著 者： 程其襄等適用專業(yè)： 適用專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) (大三上學(xué)期)重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院《實變函數(shù)》電子教案第 3

2、 頁（共 119 頁）例：Dirichlet 函數(shù)不 Riemann 可積.1 [0,1] ( ) 0 [0,1]x Q D x x Q? ? ? ? ? ? ? ?因為上積分為|| || 0 1( ) lim 1n bi i a T if x dx M x? ?? ? ? ? ?下積分為|| || 0 1( ) lim 0n bi i a T if x dx m x? ?? ? ? ? ?所以對于 分劃 ，有 ? T11ni iix

3、??? ? ?所以 Dirichlet 函數(shù)不 Riemann 可積.（3)Riemann 積分的局限性 積分的局限性微積分基本定理 微積分基本定理 ) a定理：若 在 上連續(xù)，則 '( ) F x [ , ] a b ( ) '( ) ( ) ( )xa R F t dt F x F a ? ? ?1881 年 Volterra 作出一可微函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有界但不 Riemann 可積；積分與極限交換次序（一般要求一致收斂

4、） 積分與極限交換次序（一般要求一致收斂） ) b例： 例：設(shè) 為 中全體有理數(shù)(因為其為可數(shù)集，故可把它排成序列)，作 上的函數(shù) { } n r [0,1] [0,1]列1 2 31 2 31 { , , , , } ( ) 1,2,3, 0 [0,1] { , , , , }nnnx r r r r f x n x r r r r? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?則 在 上 Riemann 可積,但 { ( )} n f x

5、 [ , ] a b不 Riemann 可積. 1 [0,1] lim ( ) ( ) 0 [0,1]n nx Q f x D x x Q ??? ? ? ? ? ? ? ? ?故對一般收斂函數(shù)列，在 Riemann 積分意義下極限運算與積分運算不一定可交換次序，即：lim ( ) lim ( )b bn n a a n n f x dx f x dx?? ?? ? ? ?不一定成立.2.Lebesgue 積分思想簡介： 積分思想簡介：