實(shí)變函數(shù)論課后答案第五章2

1、實(shí)變函數(shù)論課后答案第五章實(shí)變函數(shù)論課后答案第五章2第五章第二節(jié)習(xí)題1設(shè)mE???，()fx在E上可測(cè)且?guī)缀跆幪幱邢轠1()]nEExnfxn????，012n????證明：()fx在E上可積的充要條件是nnmE????????證明()fx在E上可積?f在E上可積?Efdx????，顯然nE可測(cè)（由f可測(cè)）01nnnnEEEfdxfdxfdx?????????????01()()nnnnEEfxdxfxdx????????????01()

2、()nnnnEEfxdxfxdx????????????若Efdx????，則01(1)nnnnEfdxnmEnmE???????????????011nnnnnnnmEmEnmE???????????????011()nnnnnnnmEmEnmE???????????????nnmEmE???????則從mE???知nnmE????????。反過(guò)來(lái)，若nnmE????????，則01()()nnnnEEEfdxfxdxfxdx????

3、?????????01(1)nnnnnmEnmE???????????01()nnnnnnnmEnmEmE???????????????????nnmEmE?????????所以此時(shí)，f可積，從而()fx可積。證畢??????1110111[]11kkkkdxdxLdxLRkxxx????????令k???知??101Ldxx????則1x在??01上不可積。3.設(shè)()fx在Riemann意義下的廣義積分()bafxdx??是絕對(duì)收斂的

4、，證明()fx在[]ab上可積，且[]()()baabfxdxfxdx????證明1）()fx在[]ab上可測(cè)。事實(shí)上，f在()ab上廣義Riemann可積??n充分大，f在1[]abn?上Riemann可積故f在1[]abn?上有界，且Riemann可積。由P156Th8()fx在1[]abn?上幾乎處處連續(xù)，且可測(cè)（P157：??1()()mnxfx??..ae于1[]abn?，??1()mnx?為簡(jiǎn)單函數(shù)，可測(cè)）由n的任意性，知f

5、在(]ab上可測(cè)1[]()()()abnxfxfx???..ae于[]ab2）()fx在[]ab上可積。我們只用證[]()abfxdx????。?nN?充分大，由()bafxdx??作為廣義Riemann絕對(duì)收斂，知()fx在1[]abn?上Riemann（有界）可積，且????1lim()()bbaannRfxdxRfxdx??????????由1）已知()fx在[]ab上可測(cè)，從而()fxff????也可測(cè)于[]ab，再由P142定