實變函數(shù)論課后答案第五章2

1、實變函數(shù)論課后答案第五章實變函數(shù)論課后答案第五章2第五章第二節(jié)習(xí)題1設(shè)mE???，()fx在E上可測且?guī)缀跆幪幱邢轠1()]nEExnfxn????，012n????證明：()fx在E上可積的充要條件是nnmE????????證明()fx在E上可積?f在E上可積?Efdx????，顯然nE可測（由f可測）01nnnnEEEfdxfdxfdx?????????????01()()nnnnEEfxdxfxdx????????????01()

2、()nnnnEEfxdxfxdx????????????若Efdx????，則01(1)nnnnEfdxnmEnmE???????????????011nnnnnnnmEmEnmE???????????????011()nnnnnnnmEmEnmE???????????????nnmEmE???????則從mE???知nnmE????????。反過來，若nnmE????????，則01()()nnnnEEEfdxfxdxfxdx????

3、?????????01(1)nnnnnmEnmE???????????01()nnnnnnnmEnmEmE???????????????????nnmEmE?????????所以此時，f可積，從而()fx可積。證畢??????1110111[]11kkkkdxdxLdxLRkxxx????????令k???知??101Ldxx????則1x在??01上不可積。3.設(shè)()fx在Riemann意義下的廣義積分()bafxdx??是絕對收斂的

4、，證明()fx在[]ab上可積，且[]()()baabfxdxfxdx????證明1）()fx在[]ab上可測。事實上，f在()ab上廣義Riemann可積??n充分大，f在1[]abn?上Riemann可積故f在1[]abn?上有界，且Riemann可積。由P156Th8()fx在1[]abn?上幾乎處處連續(xù)，且可測（P157：??1()()mnxfx??..ae于1[]abn?，??1()mnx?為簡單函數(shù)，可測）由n的任意性，知f

5、在(]ab上可測1[]()()()abnxfxfx???..ae于[]ab2）()fx在[]ab上可積。我們只用證[]()abfxdx????。?nN?充分大，由()bafxdx??作為廣義Riemann絕對收斂，知()fx在1[]abn?上Riemann（有界）可積，且????1lim()()bbaannRfxdxRfxdx??????????由1）已知()fx在[]ab上可測，從而()fxff????也可測于[]ab，再由P142定