實(shí)變函數(shù)習(xí)題答案 北大版 周民強(qiáng)

1、實(shí)變函數(shù)習(xí)題答案06級(jí)數(shù)科院本科20072008第二學(xué)期習(xí)習(xí)習(xí)題題題1第第第一一一組組組1.設(shè)fj(x)是定義在Rn上的函數(shù)列試用點(diǎn)集x:fj(x)≥1k(jk=12)表示點(diǎn)集x:limj→∞fj(x)0.證:x:limj→∞fj(x)0=∞?k=1∞?N=1∞?j=Nx:fj(x)≥1k事實(shí)上設(shè)x0∈x:limj→∞fj(x)0則存在k0使limj→∞fj(x0)≥1k0再由數(shù)列上極限的定義對(duì)于任何正整數(shù)N存在nN≥N使fnN(x0)

2、≥1k0因此x0∈∞?N=1∞?j=Nx:fj(x)≥1k0從而x0∈∞?k=1∞?N=1∞?j=Nx:fj(x)≥1k相反若x0∈∞?k=1∞?N=1∞?j=Nx:fj(x)≥1k則存在k0∈N使x0∈∞?N=1∞?j=Nx:fj(x)≥1k0因此對(duì)任何正整數(shù)N都存在j≥N使x0∈x:fj(x)≥1k0即fj(x0)≥1k0所以limj→∞fj(x0)≥1k00即x0∈x:limj→∞fj(x)0.2.設(shè)fn(x)是定義在[ab]上的

3、函數(shù)列E?[ab]且有l(wèi)imn→∞fn(x)=χ[ab]E(x)x∈[ab].若令En=x∈[ab]:fn(x)≥12試求集合limn→∞En.證:limn→∞En=[ab]E.?x∈[ab]E∵limn→∞fn(x)=1∴?N?n≥Nfn(x)≥12i.e.x∈En∴x∈limn→∞En∴[ab]E?limn→∞En反之若x∈[ab]E∵limn→∞fn(x)=0∴?N?n≥Nfn(x)j令A(yù)=f?1(A1)B=f?1(B1)即可.1

4、1.設(shè)fα(x)α∈I是定義在[ab]上的實(shí)值函數(shù)族.若存在M0使得|fα(x)|≤Mx∈[ab]α∈I試證明對(duì)[ab]中任一可數(shù)集E總有函數(shù)列fαn(x)存在極限limn→∞fαn(x)x∈E.證:∵E?[ab]為可數(shù)集∴可記為:E=x1x2xm由題目條件|fα(x1)|≤Mα∈I由BolzanoWeierstrass定理?fα1n∞n=1?fαα∈Is.t.limn→∞fα1n(x1)存在∵|fα1n(x2)|≤M?n∴?fα2n∞

5、n=1?fα1n∞n=1s.t.limn→∞fα2n(x2)存在依次類(lèi)推可得fαmn∞n=1?fαm?1n∞n=1s.t.limn→∞fαmn(xm)存在若E為有限集不妨設(shè)元素的個(gè)數(shù)就為m那么存在極限limn→∞fαmn(x)x∈E若E為可列集利用對(duì)角線(xiàn)法則選取子函數(shù)列fαmm∞m=1那么存在極限limm→∞fαmm(x)x∈E.12.設(shè)E=∞?n=1An.若E=?試證明存在n0使得An0=?.證:反證假設(shè)?nAn0有f(xε)?f(x

6、?ε)0是R1中的閉集.證:?x∈E??xn∞n=1?Es.t.xn→x(n→∞).?ε0?N?nN|x?xn|0由f的單調(diào)上升性可得:f(xε)?f(x?ε)≥f(xN1ε2)?f(xN1?ε2)0即x∈E.所以E是閉集.14.設(shè)F?Rn是有界閉集E是F中的一個(gè)無(wú)限子集試證明:E??F?=?.反之若F?Rn且對(duì)于F中任一無(wú)限子集E有E??F?=?試證明F是有界閉集.證:∵E?F∴E是有界無(wú)限點(diǎn)集∴E中存在收斂子列故E??=?又∵F是閉

7、集∴E??F??F∴E??F?=?反之?x∈F??xn∞n=1?Fs.t.xn→x(n→∞)記E=xn:n=12則E?=x由題意E??F?=?所以x∈F即F是閉集.假設(shè)F無(wú)界則?n∈N?xn∈Fs.t.?xn?n且xn互異記E=xn:n=12易知E?=?與E??F?=?矛盾故F有界.15.設(shè)F?Rn是閉集r0試證明點(diǎn)集E=t∈Rn:存在x∈F|t?x|=r是閉集.證:?t∈E??tn∞n=1?Es.t.tn→t(n→∞).由題意?n?x