實變函數(shù)習(xí)題解答(1)

1、第一章習(xí)題解答1、證明A(BC)＝(AB)(AC)?????證明：設(shè)xA(BC)，則xA或x(BC)，若xA，則xAB，且x?????????AC，從而x(AB)(AC)。若xBC，則xB且xC，于是xAB????????????且xAC，從而x(AB)(AC)，因此??????A(BC)(AB)(AC)……………(1)??????設(shè)x(AB)(AC)，若xA，則xA(BC)，若xA，由xAB???????????且xAC知xB且xC，

2、所以xBC，所以xA(BC)，因此?????????(AB)(AC)A(BC)……………(2)??????由(1)、(2)得，A(BC)＝(AB)(AC)。?????2、證明①A－B＝A－(AB)＝(AB)－B??②A(B－C)＝(AB)－(AC)???③(A－B)－C＝A－(BC)?④A－(B－C)＝(A－B)(AC)??⑤(A－B)(C－D)＝(AC)－(BD)???⑥A－(A－B)＝AB?證明：①A－(AB)＝AC(AB)＝A(C

3、ACB)?????＝(ACA)(ACB)＝(ACB)＝A－B??????(AB)－B＝(AB)CB＝(ACB)(BCB)??????＝(ACB)＝A－B???②(AB)－(AC)＝(AB)C(AC)?????＝(AB)(CACC)＝(ABCA)(ABCC)＝[A(BCC)]＝A?????????????(B－C)③(A－B)－C＝(ACB)CC＝AC(BC)????＝A－(BC)?④A－(B－C)＝AC(BCC)＝A(CBC)????＝

4、(ACB)(AC)＝(A－B)(AC)?????⑤(A－B)(C－D)＝(ACB)(CCD)????＝(AC)(CBCD)＝(AC)C(BD)??????＝(AC)－(BD)??84②()－B＝()CBN????AN????A?=(CB)＝(－B)N????A?N????A6、設(shè)是一列集合，作=，=()1。證明是一列互nA1B1AnBnA11??nk?kAnnB不相交的集，而且=，=1，2，3，…。nk1??kAnk1??kBn證明：設(shè)

5、≠，不妨設(shè)，因為，ijijjB?iA[()]iB?jB?iA?jA11??jk?kA=[(C)]iA?jA?11??jk?kA=[C(C)]=(C)iA?jA?iA?11???jikk?kAiA?iA?jA(C)=()=?11???jikk?kA??jA?11???jikk?kA?∴=，互不相交。iB?jB?nB∵，∴=。iB?iAnk1??kAnk1??kB另一方面，設(shè)，則存在最小的自然數(shù)，使，，x?nk1??kAix?iAx?11?