實變函數(shù)與泛函分析ppt課件

1、1,第三節(jié) 可測集的結構,第三章 測度論,2,注：開集、閉集既是 型集也是 型集； 有理數(shù)集是 型集，但不是 型集； 無理數(shù)集是 型集，但不是 型集。,有理數(shù)集可看成可數(shù)個單點集的并，而單點集是閉集；通過取余 型集與 型集相互轉化（并與交，開集與閉集互換）,例 區(qū)間 是可測集，且,注：零集、區(qū)間、開集、閉

2、集、 型集（可數(shù)個開集的交）、 型集（可數(shù)個閉集的并）、Borel型集（粗略說：從開集出發(fā)通過取余，取交或并（有限個或可數(shù)個）運算得到）都是可測集。,證明見書本p66,3,2. 可測集與開集、閉集的關系,即：可測集與開集、閉集只相差一小測度集（可測集“差不多”就是開集或閉集），從而可測集基本上是至多可數(shù)個開區(qū)間的并。,4,證明：若(1)已證明，由Ec可測可知,取F=G c，則F為閉集,5,(1).若E可測

3、，則,證明:(1)當mE<+∞時，由外測度定義知,從而（這里用到mE<+∞ ）,6,對每個Ei應用上述結果,(2)當mE=+∞時，這時將E分解成可數(shù)個互不相交的可測集的并：,7,例,證明：對任意的1/n，,8,例：設E為[0,1]中的有理數(shù)全體， 試各寫出一個與E只相差一小測度集的開集和閉集。,例：設E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個與E*只相差一小測度集的開集和閉集。,開集: (0,1) 閉集：,開集：

4、閉集：空集,9,3. 可測集與 集和 集的關系,可測集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。,(2).若E可測，則存在 型集H, 使,(1).若E可測，則存在 型集 O, 使,10,(1).若E可測，則存在 型集 O, 使 (2).若E可測，則存在 型集H, 使,證明：若(1)已證

5、明，由Ec可測可知,取H=O c，則H為 型集 ， 且,11,(1).若E可測，則存在 型集 O, 使,證明：對任意的1/n，,12,例：,例：設E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個與E*只相差一零測度集的 型集或 型集。,設E為[0,1]中的有理數(shù)全體， 試各寫出一個與E只相差一零測度集的 型集或 型集。,注：上面的交與并不可交換次序,13,類似可證：