實變與泛函期末試題答案

1、106－07第二學期《實變函數(shù)與泛函分析》期末考試參考答案第二學期《實變函數(shù)與泛函分析》期末考試參考答案1.設()fx是)(????上的實值連續(xù)函數(shù)則對于任意常數(shù)a是一開)(|axfxE??集而總是一閉集.(15分))(|axfxE??證明證明(1)先證為開集.(8分))(|axfxE??證明一證明一設則由在上連續(xù)知使得Ex?0axf?)(0)(xf)(????0???時即)(00?????xxxaxf?)(ExU?)(0?故為的內(nèi)點.

2、由的任意性可知是一開集.0xE0x)(|axfxE??證明二證明二可表為至多可數(shù)的開區(qū)間的并(由證明一前半部分)由定)(|axfxE??理可知為開集.E(2)再證是一閉集.(7分))(|axfxE??證明一證明一設則是的一個聚點則中互異點列使得0xE??0xEE?nx.………………………..2分)(0???nxxn由知因為連續(xù)所以Exn?axfn?)(faxfxfxfnnnn???????)(lim)lim()(0即.………………………

3、……………………………………………………………6分Ex?0由的任意性可知是一閉集.…………………………………7分0x)(|axfxE??證明二證明二對………………………5分)(|axfxE??|()ExfxaE????知為閉集.……………………………………………………7分EEEE????E證明三證明三由(1)知為開集同理也為開集)(|axfxE??)(|axfxE??所以閉集得證.)(|axfxCE??2.證明證明Egov定理定理：設是

4、上一列收斂于一個有限的函數(shù)()nmEfx??E..ea..ea的可測函數(shù)則對存在子集使在上一致收斂且)(xf0???EE??)(xfn?E(15分).)(???EEm證明證明任選一列自然數(shù)與此相應作的子集inE1111[][][||]iikiiiEnEnEffknii???????????則必在上一致收斂于.)(xfn][inE)(xf事實上對選使則當時對一切0???0i01i??0inn?3()()nEfxfxdx???=[][]()

5、()()()nnnnEffEfffxfxdxfxfxdx????????????[][](()())()()nnnnEffEfffxfxdxfxfxdx???????????[]2()[]nnEffFxdxmEff??????????24mE??????=………………………….……….…………………..9分22?????這就證明了當時成立mE???.lim()()nEEnfxdxfxdx???(2)設.因在上可積由非負可測函數(shù)積分的定義

6、mE???()FxEL知對任何存在??(lim()()kkEEkFxdxFxdx???????()())kkEEFxdxFxdx???0??kEE?使得kmE?????()()4kkEEFxdxFxdx?????所以=dxxFkEE??)(???EEdxxFdxxFk)()(..……………….11?()[()]kkEEFxdxFxdx???4??分另一方面在上的可測函數(shù)列滿足：kEnff?于()()2()..nfxfxFxae??12k

7、En??（從）()()0nfxfx??)()(xfxfn?故在上利用(1)的結論（從(1)有所以由得kElim()()nEEnfxdxfxdx???()()0nfxfx??）知存在正整數(shù)使當時lim()()0nEnfxfxdx???NnN?……………..……………….13分()()2knEfxfxdx????(注意注意:上一步若直接由上一步若直接由(1)得到亦正確得到亦正確)因此()()nEEfxdxfxdx??????Endxxfxf