[數(shù)學(xué)教案]圓錐曲線(復(fù)習(xí)課)

1、1圓錐曲線（復(fù)習(xí)課） 圓錐曲線（復(fù)習(xí)課）教學(xué)目的 教學(xué)目的1．理解橢圓、雙曲線的第一定義及橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一定義，并能利用定義求出與圓錐曲線有關(guān)的量，也能利用定義求出圓錐曲線方程．2．掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)圖象，并掌握相應(yīng)的性質(zhì)：圖形范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、實(shí)軸、虛軸、焦距、焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線．3．掌握中心在(h，k)的橢圓和雙曲線的方程及頂點(diǎn)在(h，k)的拋物線的方程及相應(yīng)圖形與性質(zhì)(性質(zhì)同

2、2)．4．掌握方程 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 所表示的曲線的分類．5．理解解析幾何用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)特點(diǎn)．重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)一是熟練掌握?qǐng)A錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)的圖形和性質(zhì)，以及中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點(diǎn)在(h，k)的拋物線的方程及相應(yīng)圖形和性質(zhì)，特別要注意形與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)．重點(diǎn)二是掌握?qǐng)A錐曲線的定義，能在已知條件合適時(shí)，自覺(jué)地想到利用定義求圓錐曲線方程，或利用定義求圓錐曲線有關(guān)的量．難點(diǎn)在于不易

3、利用平面幾何知識(shí)選擇最簡(jiǎn)便的方法去解決問(wèn)題．解析幾何固然是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，但畢竟它仍是幾何問(wèn)題，因而幾何圖形原有的性質(zhì)也不能拋棄不用．教學(xué)過(guò)程 教學(xué)過(guò)程橢圓、雙曲線和拋物線是解析幾何重點(diǎn)研究的曲線．研究的主要內(nèi)容是橢圓、雙曲線和拋物線的形成，即它們的定義及相應(yīng)的方程；又由方程的代數(shù)性質(zhì)研究曲線的幾何性質(zhì)；圓錐曲線的一般方程是怎樣分類的，從而知道它們可表示不同的圓錐曲線；經(jīng)過(guò)平移后圓錐曲線的方程和相應(yīng)性質(zhì)．在整個(gè)復(fù)習(xí)課的過(guò)程中，強(qiáng)

4、調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用圖形探索解題方法及解的不同情況，特別是有關(guān)中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點(diǎn)在(h，k)的拋物線的問(wèn)題，更要依據(jù)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，而盡可能避免使用坐標(biāo)平移公式．突出利用方程思想實(shí)施待定系數(shù)法求圓錐曲線方程．并注意利用定義得方程和求有關(guān)圓錐曲線的量．同時(shí)不能忽視平面幾何的圖形性質(zhì)的利用．一、復(fù)習(xí)定義對(duì)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為正常數(shù) e，當(dāng) 0＜e＜1 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為

5、橢圓；當(dāng) e=1 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線；當(dāng) e＞1 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線．(利用計(jì)算機(jī)《幾何畫(huà)板》演示隨 e 的變化，動(dòng)點(diǎn)曲線由橢圓到拋物線到雙曲線的變化)．例 1 拋物線 y2=8px(p＞0)上一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 a，則點(diǎn) M 到 y 軸的距離為_(kāi)_____．分析 過(guò) M 點(diǎn)作 MH⊥y 軸于 H，則所求即|MH|．由定義知 M 點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 a=M 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以延長(zhǎng) MH 交準(zhǔn)線于 M′，則|MM′|=a，而拋

6、物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 2p，故|MH|=|MM′|-2p=a-2p．例 2 雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為 2a，過(guò)焦點(diǎn) F1 的弦的兩個(gè)端點(diǎn) A，B 均在左支上，且|AB|=m，F(xiàn)2 為右焦點(diǎn)，則△ABF2 的周長(zhǎng)是______．分析 由第一定義有|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，兩式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a，即|AF2|+|BF2|-|AB|=4a，所以|AF2|+|BF2|=

7、4a+m，則△ABF2 的周長(zhǎng)=|AB|+|AF2|+|BF2|=m+4a+m=4a+2m．分析 不妨設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由第一定義知 m+n=2a=20，又則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．例 3 一動(dòng)圓與兩已知圓 O1：x2+y2+4x+3=0 和圓 O2：x2+y2-4x-5=0 都內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心軌跡為 [ ]A．橢圓 B．雙曲線一支C．拋物線

8、 D．兩條相交直線3分析 求離心率只需找到關(guān)于 a，b，c 的一個(gè)方程即可．本題在⊙F 中，已知|MF|=|MO|，且|FO|=|FM|=r，所以|OM|=|OF|=c，由等邊△=c2，化簡(jiǎn)為 4a2b2-b2c2-3a2c2=0，將 b2=a2-c2 代入得 4a2(a2-c2)-c2·(a2-c2)-3a2c2=0，化簡(jiǎn)為 c4-8a2c2+4a4=0，方程兩邊同除以 a4 得 e4-8e2+4=0，評(píng)述 本題若

9、設(shè)橢圓兩焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，連結(jié) MF2，MO，MF1．由等邊△OMF2 有|MO|=|MF2|=|OF2|=c，且|OF1|=c，則|F1F2|=2|MO|，一個(gè)三角形一邊上的中線等于此邊之半，則這個(gè)三角形為 Rt△，即∠比較兩種解法得到的 a，b，c 的方程，可知評(píng)述中的解法捷便得多．這就是充分利用圓錐曲線的定義及圖形的平面幾何性質(zhì)的優(yōu)越性．本例還可用許多方法得到 a，b，c 的不同方程來(lái)求 e，但均不如評(píng)述中的方便簡(jiǎn)捷．例 8

10、 拋物線 x2=2y 上離點(diǎn) A(0，a)(a＞0)最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)，該結(jié)論成立的充要條件是 [ ]A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥1分析 在拋物線 x2=2y 上任取一點(diǎn) P(x，y)，|PA|2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2+(2-2a)y+a2(y≥0)，記y0=a-1．當(dāng) P 點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn) O(0，0)時(shí)，即 y=0 時(shí)|PA|2 取得最小值的充要條件是 y0≤0，即 a-1≤0

11、，又已知 a＞0，則 a 的取值范圍是(0，1)，故選 D．評(píng)述 自例 11 以后，問(wèn)題都比較綜合，涉及到直線、圓、函數(shù)、最值、平面幾何、圓錐曲線定義等各方面知識(shí)，需要訓(xùn)練轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將條件逐步轉(zhuǎn)化到已掌握的知識(shí)內(nèi)容上去，從而使問(wèn)題得以解決．(老師在引導(dǎo)學(xué)生尋找解題思路時(shí)，應(yīng)著重滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)．三、復(fù)習(xí)圓錐曲線的分類及中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點(diǎn)在(h，k)的拋物線的方程及對(duì)應(yīng)圖形與性質(zhì)．(圓錐曲線的分類學(xué)生遺忘得

12、比較厲害，還需認(rèn)真復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)．)中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點(diǎn)在(h，k)的拋物線的方程及對(duì)應(yīng)圖形與性質(zhì)的復(fù)習(xí)與“二”處相同，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合得性質(zhì)，切忌死記硬背結(jié)論)．例 9 若拋物線 y2=a(x+1)的準(zhǔn)線方程是 x=-3，則這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 [ ]A．(1，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(-1，0)分析 拋物線頂點(diǎn)在(-1，0)，到準(zhǔn)線 x

13、=-3 的距離為 2，則焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離也為 2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，應(yīng)選 A．例 10 焦點(diǎn)是(2，1)和(2，-3)，半徑軸長(zhǎng)為 3 的橢圓方程是______．例 29 拋物線(y+2)2=4(x+a)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-2)，則 a 的值等于 [ ]A．-1 B．1C．2 D．-2則頂點(diǎn)應(yīng)為(-1，-2)，故-a=-1，即 a=1，故選 B

14、．例 11 平移坐標(biāo)軸，把原點(diǎn)移至 O′(-2，0)，在新坐標(biāo)系中雙曲線方程 x2-2y2-2ax=0 可化為標(biāo)準(zhǔn)方程則此雙曲線在原坐標(biāo)系中的漸近線方程是 即中心在(a，0)，又依題設(shè)知中心為點(diǎn)(-2，0)，故 a＝-2．所以雙曲線已知雙曲線方程求漸近線如本例，這樣易掌握方法．方程為[ ] A．y2＝18(x-5)

15、 B．y2＝8(x-5)C．y2＝-36(x-5) D．y2＝-36(x+5)分析 已知雙曲線的右焦點(diǎn)(5，0)，左頂點(diǎn)(-4，0)，即分別為所方程為 y2＝-2p(x-5)＝-36(x-5)，應(yīng)選 C．例 12 若 k∈R，討論方程(9-k)x2+(25-k)y2＝(9-k)(25-k)表示的曲線．①當(dāng) k＜9 時(shí)，25-k＞0，9-k＞0，方程表示的曲線是橢圓．②當(dāng) k＝9 時(shí)，方程化為(25-