云南中考數(shù)學(xué)《專項三：壓軸題》精講教學(xué)案類型⑦平行四邊形及矩形、菱形、正方形存在性問題探究

1、第 1 頁類型⑦ 平行四邊形及矩形、菱形、正方形存在性問題探究,備考攻略)在平行四邊形有關(guān)存在性問題中，常會遇到這樣兩類探究性的問題：1．已知三點的位置，在二次函數(shù)上或在坐標平面內(nèi)找一動點，使這四點構(gòu)成平行四邊形(簡稱“三定一動”)．2．已知兩個點的位置，在二次函數(shù)上或在坐標平面內(nèi)找兩個動點，使這四點構(gòu)成平行四邊形(簡稱“兩定兩動”)．平行四邊形的這四個點有可能是定序的，也有可能沒有定序．1．確定動點位置時出現(xiàn)遺漏．2．在具體計算動點坐

2、標時出現(xiàn)方法不當或錯解．1．分清題型(屬于三定一動還是兩定兩動，因為這兩種題型的分類標準有所不同)．2．分類討論且作圖(利用分類討論不重不漏的尋找動點具體位置)．3．利用幾何特征計算(不同的幾何存在性要用不同的解題技巧)．可以把存在性問題的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算” ．1．如果為“三定一動” ，要找出平行四邊形第四個頂點，則符合條件的有 3 個點；這三個點的找法是以三個定點為頂點畫三角形，過每個頂點畫對邊的平行線，

3、三條直線兩兩相交，產(chǎn)生所要求的 3 個點．2．如果為“兩定兩動” ，要找出平行四邊形第三、四個頂點，將兩個定點連成定線段，將此線段按照作為平行四邊形的邊或?qū)蔷€兩種分類討論．1．若平行四邊形的四個頂點都能用坐標來表示，則直接利用坐標系中平行四邊形的基本特征：即對邊平行且相等或?qū)吽骄嚯x相等和豎直距離相等列方程求解．2．若平行四邊形的四個頂點中某些點不能用坐標表示，則利用列方程組解圖形交點的方法解決．3．靈活運用平行四邊形的中心對稱的性

4、質(zhì)，也可使問題變得簡單．4．平移坐標法．先由題目條件探索三點的坐標(若只有兩個定點，可設(shè)一個動點的坐標). 再畫出以三點為頂點的平行四邊形，根據(jù)坐標平移的性質(zhì)寫出第四個頂點的坐標．最后根據(jù)題目的要求(動點在什么曲線上)，判斷平行四邊形的存在性．1．矩形：增加對角線相等和鄰邊垂直的性質(zhì)，還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題．2．菱形：增加四邊相等和對角線垂直的性質(zhì)，還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰(等邊)三角形存在性問題．3．正方形：兼顧以上性

5、質(zhì)，還可以轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形存在性問題．,典題精講)第 3 頁【解析】1.過點 E 作 x 軸的垂線交 AD 于 F，那么△AEF 與△CEF 是共底的兩個三角形．2．以 AD 為分類標準討論矩形，當 AD 為邊時，AD 與 QP 平行且相等，對角線 AP＝QD；當 AD 為對角線時，AD 與 PQ 互相平分且相等．【答案】解：(1)由 y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得 A(－1，0)．由 CD＝4AC，得 xD＝

6、4.所以 D(4，5a)．由 A(－1，0)，D(4，5a)，得直線 l 的函數(shù)解析式為 y＝ax＋a；(2)如圖②，過點 E 作 x 軸的垂線交 AD 于 F.設(shè) E(x，ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x，ax＋a)，那么 EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a.由 S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝ EF(xE－xA)－ EF(xE－xC)＝ EF(xC－xA)＝ (ax2－3ax－4a)12121212＝ a － a，12 (x－

7、32)2258得△ACE 面積的最大值為－ a.解方程－ a＝ ，得 a＝－ ；2582585425(3)已知 A(－1，0)，D(4，5a)，xP＝1，以 AD 為分類標準，分兩種情況討論：①如圖③，如果 AD 為矩形的邊，那么 AD∥QP，AD＝QP，對角線 AP＝QD.由 xD－xA＝xP－xQ，得 xQ＝－4.當 x＝－4 時，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a.所以 Q(－4，21a)．由 yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得 yP＝2

8、6a.所以 P(1，26a)．由 AP2＝QD2，得 22＋(26a)2＝82＋(16a)2.整理，得 7a2＝1.所以 a＝－ .此時 P ；77 (1，－26 77 )②如圖④，如果 AD 為矩形的對角線，那么 AD 與 PQ 互相平分且相等．由 xD＋xA＝xP＋xQ，得 xQ＝2.所以 Q(2，－3a)．由 yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得 yP＝8a.所以 P(1，8a)．由 AD2＝PQ2，得 52＋(5a)2＝12＋(11a)2