2018屆高三數學一輪復習 第5單元 5.2 等比數列及其前n項和課件 理 新人教b版

1、(理解等比數列的概念/掌握等比數列的通項公式/與前n項和公式/了解等比數列與指數函數的關系),5.2 等比數列及其前n項和,1．等比數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于 常數，那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的 ；公比通常用字母q表示(q≠0)，即： ＝q(n≥2，n∈N)．2．等比數列的通項公式：an＝a1·qn－1；an＝am

2、3;qn－m(a1·q≠0) 提示：等比數列從定義到通項公式的推導和形式都可以看作是等差數列的運算升級．,同一個,公比,3．等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么稱這個數G為a與b的等比中項． 4．等比數列的前n項和公式提示：等比數列的前n項和公式的推導使用的是“錯位相減法”，在使用公式時要判斷公比q≠1，或q＝1.思考：是否存在既是等差又是等比數列的數列？提示：存在，可

3、以證明既是等差又是等比數列的數列一定是非零常數列．,1．關于數列：3,9…，2 187，以下結論正確的是(　　)A．此數列不是等差數列，也不是等比數列B．此數列可能是等差數列，但不是等比數列C．此數列不是等差數列，但可能是等比數列D．此數列可能是等差數列，也可能是等比數列解析：由前2項可設通項an＝6n－3和an＝3n，代入檢驗即可．答案：D,2．“b＝ ”是“a、b、c成等比數列”的 (　　)

4、A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：D,3．已知等比數列{an}中，a3＝ ，S3＝ ，則q＝________. 即2q2－q－1＝0.整理得(2q＋1)(q－1)＝0，∴q＝－ 或q＝1.答案：－ 或1,4．等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數列，則{an}的公比為____

5、____．解析：根據已知條件4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1·q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，整理得：3q2－q＝0，又q≠0.∴q＝ .答案：,1. 對于等比數列的有關計算問題，可類比等差數列問題進行，在解方程組的過程中要注意“相除”消元的方法，同時要注意整體代入(換元)思想方法的應用．2．在涉及等比數列前n項和公式時要注意對公比q是否等于1的判斷和討論．,【例1】 設等比數列{an}的前n

6、項和為Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通項公式．解答：解法一：在等比數列{an}中，由S4＝1，S8＝17，則q≠1，因此②÷①得q4＋1＝17，則q4＝16，∴q＝2，或q＝－2，由q＝2代入①得a1＝ ，由q＝－2代入①得a1＝－ ，所以數列{an}的通項公式為an＝ ·2n－1或an＝(－ )·(－2)n－1.,解法二：q4＝

7、 ＝16，則q＝2，或q＝－2.又S4＝1，當q＝2時，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝ ，因此an＝a1qn－1＝ ；當q＝－2時，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝－ .因此an＝a1qn－1＝－,變式1. 已知{an}是公比為q的等比數列，且a1，a3，a2成等差數列． (1)求q的值； (2)設{bn}是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和

8、為Sn，當n≥2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由．解答：(1)∵{an}是公比為q的等比數列，2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，則2q2－q－1＝0，即(2q＋1)(q－1)＝0，因此q＝1或q＝－ . (2)當q＝1時，bn＝2＋(n－1)＝n＋1.Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝,當n≥2時，Sn＞bn；當n＝10時，Sn＝bn；當2≤n≤9時，Sn＞bn；當n≥11時，Sn＜bn.,

9、1. 對于等比數列的相關證明可類比等差數列的有關問題．2．要證一個數列不構成等比，只需證明存在m、n∈N*(m≠n)，使得 即可．,【例2】(1)已知數列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且數列{cn＋1－Pcn}為等比數列，求常數P；(2)設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，cn＝an＋bn，證明：數列{cn}不是等比數列．證明：(1)因為{cn＋1－P

10、cn}是等比數列，故有(cn＋1－Pcn)2＝(cn＋2－Pcn＋1)(cn－Pcn－1)，將cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－P(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－P(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－P(2n－1＋3n－1)]，即[(2－P)2n＋(3－P)3n]2＝[(2－P)2n＋1＋(3－P)3n＋1]·[(2－P)2n－1＋(3－P)·3n－1]，,

11、整理得， (2－P)(3－P)·2n·3n＝0，解得，P＝2或P＝3.(2)證明：設{an}，{bn}的公比分別為p，q，p≠q，cn＝an＋bn，為證{cn}不是等比數列只需證 ≠c1·c3，事實上， ＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，c1·c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)．由于p≠q，p2＋q2＞2pq

12、，又a1，b1均不為零，因此 ≠c1·c3，故{cn}不是等比數列.,對于遞推關系形如 的求數列通項公式問題，可利用待定系數法an＋1－λ＝c(an－λ)，求出λ＝ ，轉化為等比數列解決．,【例3】已知在數列{an}中a1＝1，求滿足下列條件的數列{an}的前n項和Sn. (1)an＋1＝3an＋2；(2)an＋1＝

13、an＋2n＋1. 解答：(1)由an＋1－λ＝3(an－λ)與an＋1＝3an＋2，比較可得λ＝－1，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即 ＝3，即{an＋1}構成以a1＋1為首項，公比為3的等比數列．∴an＋1＝(a1＋1)3n－1，∴an＝2·3n－1－1，∴Sn＝2· －n＝3n－n－1. (2)由已知an＝an－1＋2n即an－an－1＝2

14、n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋22＋1＝ ＋1＝2n＋1－3，∴Sn＝ －3n＝2n＋2－3n－4.,1．確定等比數列的關鍵是確定首項a1和公比q.2．在等比數列通項公式和前n項和公式中共涉及五個量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．3．等比數列求和公式的推導的思想可用于等

15、比數列與等差數列對應項之積構成的數列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數列的前n項和．,【方法規(guī)律】,等比數列的定義，通項公式，前n項和公式是解決等比數列中的有關計算、討論等比數列的有關性質的問題的基礎和出發(fā)點．,4．在利用等比數列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法．5．等差數列與等比數列的關系是： (1)若一個數列既是等差數列，又是等比數列，則此數列是非零常數列；

16、 (2)若{an}是等比數列，且an＞0，則{lg an}構成等差數列．,(本題滿分12分)設等比數列{an}的公比為q，前n項和Sn>0(n＝1，2，…)．(1)求q的取值范圍；(2)設bn＝an＋2－ an＋1，記{bn}的前n項和為Tn，試比較Sn和Tn的大小.,解答：(1)當n＝1時，a1＝S1＞0，若q＝1，則Sn＝na1＞0.若q≠1，則Sn＝ ＞0，即

17、 ＞0.等價于解得－1＜q＜1或q＞1且q≠0.因此滿足條件q的范圍是(－1,0)∪(0，＋∞).6分,【答題模板】,(2)∵bn＝an＋2－ an＋1＝(q2－ q)an，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(q2－ q)(a1＋a2＋…＋an)＝(q2－ q)·Sn，Tn－Sn＝(q2－ q－1)Sn＝(q＋ )(q－2)Sn當－1＜q＜－ ，或q＞2時，Tn＞Sn；

18、當q＝－ ，或q＝2時，Tn＝Sn；當－ ＜q＜0或0＜q＜2時，Tn＜Sn.12分,1. 第(1)問是解決不等式Sn＞0(n∈N*)恒成立，求q的范圍，如果使用等比數列的前n項和公式要對q＝1，q≠1進行討論，既便是能解決對公比q的討論問題，解不等式組 也會給考生帶來不小的困難．事實上可證明在等比數列中，前