可降階的階微分方程

1、第五第五節(jié)可降可降階的二的二階微分方程微分方程在前面幾節(jié)中，我們已經(jīng)介紹了幾種可用初等方法求解的一階方程類型，正確而又敏捷地判定所給方程的類型從而按照所知的方法求解，這是基本的要求。因?yàn)槲覀兯龅降姆匠?，有時(shí)不易直接判定其類型，有時(shí)需要適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，或作變量替換才能化為能求解的類型，讀者應(yīng)注意學(xué)習(xí)解微分方程的各種技巧。對于一般的二階微分方程沒有普遍的解法，本節(jié)討論幾種特殊形式的二階微分方程，它們有的可通過積分求得，有的可經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞?/p>

2、替換可以降為一階微分方程，然后求解一階微分方程，再將變量代回，從而求得二階微分方程的解。5.1＝f(x)型的微分方程型的微分方程22dxyd這是一種特殊類型的二階微分方程，本章第一節(jié)例2就是這種類型，求解方法也較容易，只需二次積分，就能得它的解積分一次得＝∫f(x)dx＋C1dxdy再積分一次得y＝∫［∫f(x)dx＋C1］dx＋C２解積分一次得＝xlnx＋x＋C122dxyd積分二次得＝x2lnx－＋C1x＋C2dx

3、dy214x2積分三次得y＝lnx＋＋x2＋C2x＋C36x312x32C15.2＝f(x)型的微分方程型的微分方程22dxyddxdy這種方程的特點(diǎn)是不明顯含有未知函數(shù)y，解決的方法是：我們把作為未知函數(shù)，而使變換，令dxdy＝pdxdy于是有＝，這樣可將原方程降為如下形式22dxyddxdp的一階方程=f(xp)dxdp這里p作為未知函數(shù)，如能求出其通解p＝φ(xC１)然后根據(jù)關(guān)系式＝p即可求得原方程的通解dxdy