第五節(jié)可降階的高階微分方程

1、,可降階高階微分方程,第五節(jié),一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第七章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過 n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 Ox 軸作直線,運(yùn)動(dòng),,在開始時(shí)刻,隨著時(shí)間的增大 , 此力 F 均

2、勻地減,直到 t = T 時(shí) F(T) = 0 .,如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn),,解: 據(jù)題意有,,t = 0 時(shí),設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) .,小,,,,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,初速度為0,,,,,,,且,對方程兩邊積分, 得,,,,利用初始條件,于是,兩邊再積分得,再利用,故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,型的微分方程,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,例3. 求解,解:,代入方程得

3、,分離變量,積分得,利用,于是有,兩端再積分得,利用,因此所求特解為,,,例4.,繩索僅受,重力作用而下垂,,解: 取坐標(biāo)系如圖.,考察最低點(diǎn) A 到,( ? : 密度, s :弧長),弧段重力大小,按靜力平衡條件, 有,,,,,故有,,設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定,,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ?,任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況:,兩式相除得,,則得定解問題:,原方程化為,兩端積分得,則有,兩端積分得,故所求繩

4、索的形狀為,,懸 鏈 線,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,例5. 求解,代入方程得,兩端積分得,(一階線性齊次方程),故所求通解為,解:,M : 地球質(zhì)量m : 物體質(zhì)量,例6.,靜止開始落向地面,,(不計(jì)空氣阻力).,解: 如圖所示選取坐標(biāo)系.,則有定解問題:,代入方程得,積分得,一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由,,求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間,,兩端積分得,因此有

5、,注意“－”號,由于 y = R 時(shí),由原方程可得,因此落到地面( y = R )時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為,,說明: 若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系,,解方程可得,問: 此時(shí)開方根號前應(yīng)取什么符號? 說明道理 .,則定解問題為,,例7. 解初值問題,解: 令,代入方程得,積分得,利用初始條件,,根據(jù),積分得,故所求特解為,得,,為曲邊的曲邊梯形面積,上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面,例8.,二階可導(dǎo), 且,上任一點(diǎn) P(x, y) 作該

6、曲線的,切線及 x 軸的垂線,,區(qū)間[ 0, x ] 上以,解:,于是,,在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為? ,,滿足的方程 .,積記為,( 1999 考研 ),,,,,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,兩邊對 x 求導(dǎo), 得,定解條件為,方程化為,利用定解條件得,得,故所求曲線方程為,,,內(nèi)容小結(jié),可降階微分方程的解法,—— 降階法,逐次積分,令,令,思考與練習(xí),1. 方程,如何代換求解 ?,答: 令,或,一般說, 用

7、前者方便些.,均可.,有時(shí)用后者方便 .,例如,,2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?,答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡便.,(2) 遇到開平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號.,例6,例7,P323 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4,作業(yè),第六節(jié),,速度,大小為