08_不定方程與整數(shù)分拆

1、小學(xué)奧數(shù)總復(fù)習(xí)不定方程和整數(shù)拆分求二元一次方程與多元一次方程組的自然數(shù)解的方法，與此相關(guān)或涉及整數(shù)分拆的數(shù)論問題解不定方程的4個(gè)步驟：①判斷是否有解；②化簡方程；③求特解；④求通解本講講解順序：③包括1、2、3題④②①包括4、5題③包括6、7題，其中③④步??????驟中加入百雞問題復(fù)雜不定方程：⑧、⑨、⑩依次為三元不定方程、較復(fù)雜不定方程、復(fù)雜不定方程整數(shù)分拆問題：11、12、13、14、151在兩位數(shù)中，能被其各位數(shù)字之和整除，而且

2、除得的商恰好是4的數(shù)有多少個(gè)【分析與解】【分析與解】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為，則數(shù)字和為，這個(gè)數(shù)可以表達(dá)為abab?，有10ab?????104abab????即，亦即1044abab???2ba?注意到和都是0到9的整數(shù)，且不能為0，因此只能為1、2、3或4，相應(yīng)地的取值為2、abaab4、6、8綜上分析，滿足題目條件的兩位數(shù)共有4個(gè)，它們是12、24、36和482設(shè)A和B都是自然數(shù)，并且滿足那么AB等于多少1711333AB??【分析與解】【

3、分析與解】將等式兩邊通分，有3AllB=17顯然有B=l，A=2時(shí)滿足，此時(shí)AB=21=33甲級(jí)鉛筆7分錢一支，乙級(jí)鉛筆3分錢一支張明用5角錢恰好可以買這兩種不同的鉛筆共多少支【分析與解】【分析與解】設(shè)購買甲級(jí)鉛筆支，乙級(jí)鉛筆支xy有73=50，這個(gè)不定方程的解法有多種，在這里我們推薦下面這種利用余數(shù)的性質(zhì)來求解的方xy法：將系數(shù)與常數(shù)對(duì)3取模(系數(shù)7，3中，3最小)：得=2(mod3)，所以可以取2，此時(shí)取12；還可以取23=5，此時(shí)

4、取5；xxyxy即、對(duì)應(yīng)為14、10212xy?????55xy?????xy?【分析與解】顯然，為了使3種信的總和最少，那么小萌應(yīng)該盡量寄最貴的掛號(hào)信，然后是航空信，最后才是平信但是掛號(hào)信、航空信的郵費(fèi)都是整數(shù)角不會(huì)產(chǎn)生幾分所以，2分，102分應(yīng)該為平信的郵費(fèi)，最小取3，才是8的倍數(shù)，所以平信至少要寄4封，此nn時(shí)剩下的郵費(fèi)為12232=90，所以再寄4封掛號(hào)信，航空信1封即可于是，小萌寄的這3種信的總和最少是414=9封9.有三堆砝

5、碼，第一堆中每個(gè)砝碼重3克，第二堆中每個(gè)砝碼重5克，第三堆中每個(gè)砝碼重7克現(xiàn)在要取出最少個(gè)數(shù)的砝碼，使它們的總重量為130克那么共需要多少個(gè)砝碼其中3克、5克和7克的砝碼各有幾個(gè)【分析與解】【分析與解】為了使選取的砝碼最少，應(yīng)盡可能的取7克的砝碼1307：18……4，所以3克、5克的砝碼應(yīng)組合為4克，或47克重k設(shè)3克的砝碼個(gè)，5克的砝碼個(gè)，則xy3547xyk???當(dāng)=0時(shí)，有，無自然數(shù)解；k354xy??當(dāng)=1時(shí)，有，有=2，=1，

6、此時(shí)7克的砝碼取17個(gè)，所以共k3511xy??xy需2117=21個(gè)砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各2、1、17個(gè)當(dāng)1時(shí)，7克的砝碼取得較少，而3、5克的砝碼卻取得較多，不是最少的取k砝碼情形所以共需2117=20個(gè)砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各2、1、17個(gè)105種商品的價(jià)格如表8—1，其中的單位是元現(xiàn)用60元錢恰好買了10件商品，那么有多少種不同的選購方式【分析與解】【分析與解】設(shè)B、C、D、E、A商品依次買了b、c、d、e、(

7、10bcde)件，則有=60??2.9104.77.210.614.9bcdebcde????????=310，顯然只能取0，1，2184377120bcde???eⅠ有=310，其中d可取0，1，2，3，4184377bcd??(1)當(dāng)d=0時(shí)，有=310，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取模得：1843bc?≡4(mod6)，于是最小取4，那么有18b=310434=138，b不為自然cc數(shù)所以d=0時(shí)。不滿足；(2)有=233，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取