概率統(tǒng)計(jì)案例 如何估計(jì)湖中黑、白魚(yú)的比例

1、如何估計(jì)湖中黑、白魚(yú)的比例某水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)兩年前在人工湖混養(yǎng)了黑白兩種魚(yú)?，F(xiàn)在需要對(duì)黑白魚(yú)數(shù)目的比例進(jìn)行估計(jì)。我們可用統(tǒng)計(jì)方法解決此問(wèn)題。設(shè)湖中有黑魚(yú)條，則白魚(yú)數(shù)為，其中為待估計(jì)參數(shù)。abka?k從湖中任捕一條魚(yú)，記10X????若是黑魚(yú)若是白魚(yú)則，1(1)(0)1(1)11akPXPXPXakakk???????????為了使抽取的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，我們從湖中有放回的捕魚(yú)條。（即任捕一條，記下其顏色后放回湖中。任其自由游動(dòng)。稍后n再捕第

2、二條，重復(fù)前一過(guò)程），得樣本。各相互獨(dú)立，12nXXX?iX且均與同分布。設(shè)再這次抽樣中，捕得條黑魚(yú)。以此抽樣結(jié)果Xnm可對(duì)作出估計(jì)。下面用通常用矩法和極大似然估計(jì)法估計(jì)。kk（1）矩估計(jì)法：令1()1XEXk???可求得1?1MkX??由具體抽樣結(jié)果知，的觀測(cè)值，故的矩估計(jì)值為XmXn?k?1Mnkm??（2）極大似然估計(jì)由于每個(gè)的分布為：iX11()()0111iixxiiikPXxxkk??????設(shè)為相應(yīng)抽樣結(jié)果（樣本觀測(cè)值），

3、則似然函數(shù)為：12nxxx?11121()()()11nniiiinxxnkLkxxxkk?????????(1)nmnkk???12ln()()lnln(1)nLkxxxnmknk?????令12ln()01ndLkxxxnmndkkk??????可求得的極大似然估計(jì)值為R?1MLEnkm??對(duì)本題而言，兩種方法所得估計(jì)結(jié)果相同。〔注〕本題雖然簡(jiǎn)單，但它是一個(gè)十分廣泛的統(tǒng)計(jì)模型。例如：可將黑白魚(yú)看成是某堆產(chǎn)品中的正次品，或是某地區(qū)的男