第06講 計數(shù)原理-2009-2017全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類匯編

1、20092017全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類匯編第06講：計數(shù)原理1、（2010一試8）方程滿足的正整數(shù)解的個數(shù)是.2010???zyxzyx??()xyz【答案】336675[來源:Z#xx#]易知，所以100420096100331?????k110033100420096?????k，即.200410052006123200910052006?????????3356713343351003????k從而滿足的正整數(shù)解的個數(shù)為.zyx??

2、33667533567110031???2、（2011一試5）現(xiàn)安排7名同學去參加5個運動項目，要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目，每個項目都有人參加，每人只參加一個項目，則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】15000【解析】由題設(shè)條件可知，滿足條件的方案有兩種情形：（1）有一個項目有3人參加，共有種方案；3600!5!51537????CC（2）有兩個項目各有2人參加，共有種方案；11400!5!5)(2125252

3、7?????CCC所以滿足題設(shè)要求的方案數(shù)為15000114003600??[來源:學科網(wǎng)ZXXK]3、（2011一試8）已知C，則數(shù)列中整數(shù)項的個數(shù)為?na??)9521(2162003200?????????????nnnnna【答案】15【解析】C?na65400320020023nnn????要使為整數(shù)，必有均為整數(shù)，從而)951(??nan654003200nn??4|6?n當2814202632384450566268748

4、0時，和均為非負整數(shù)，所以為整?n3200n?65400n?na數(shù)，共有14個對應(yīng)，因此有010()()||||||||||||.NPNQABAABA???????00||:0019bAabcAb????下面計算對任一四位數(shù)可取，，，對其中每個99babc????由及知，a和c分別有9b種取法，從而992200191019|=(9)26|85.bkbk??????????A()()285.NPNQ??因此，6、（2016一試8）設(shè)是1，

5、2，…，100中的4個互不相同的數(shù)，滿足4321aaaa則這樣的有序數(shù)組的個數(shù)為2433221242322232211)())((aaaaaaaaaaaa???????)(4321aaaa.【答案】40先考慮的情況.mn?此時，注意到互素，故為正整數(shù).相應(yīng)地，分別等于331314)(mnamnaa??33nm31mal?4321aaaa，它們均為正整數(shù).這表明，對任意給定的，滿足條件并以為公比的等比lnlmnnlmlm32231??mn

6、qq數(shù)列的個數(shù)，即為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，即.4321aaaa1003?lnl]100[3n由于，故僅需考慮這些情況，相應(yīng)的等比數(shù)列的個數(shù)為10053?3442332?q.20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[??????????當時，由對稱性可知，亦有20個滿足條件的等比數(shù)列.mn?4321aaaa綜上可知，共有40個滿足條件的有序數(shù)組.學科網(wǎng))(4321aaaa7、（2017一試4）