第02講 初等數論-2009-2017全國高中數學聯(lián)賽分類匯編

1、20092017全國高中數學聯(lián)賽分類匯編第02講：初等數論1、（2010一試8）方程滿足的正整數解的個數是.2010???zyxzyx??()xyz【答案】336675易知，所以100420096100331?????k110033100420096?????k，即.200410052006123200910052006?????????3356713343351003????k從而滿足的正整數解的個數為.zyx??3366753356

2、7110031???2、（2011一試8）已知C，則數列中整數項的個數為?na??)9521(2162003200?????????????nnnnna【答案】15【解析】C?na65400320020023nnn????要使為整數，必有均為整數，從而)951(??nan654003200nn??4|6?n當28142026323844505662687480時，和均為非負整數，所以為整?n3200n?65400n?na數，共有14個當

3、時，C，在C中，中因數2的個數為86?n?86a5388620023???!114!86!20086200??!200，1972200220022002200220022002200765432?????????????????????????????????????????????????同理可計算得中因數2的個數為82，中因數2的個數為110，所以C中因數2的個數為!86!11486200，故是整數511082197???86a當時

4、，C，在C中，同樣可求得中因數2的個數為88中因數2的92?n?92a10369220023???!108!92!20092200??!92!108個數為105故C中因數2的個數為，故不是整數86200410588197???92a先考慮的情況.mn?此時，注意到互素，故為正整數.相應地，分別等于331314)(mnamnaa??33nm31mal?4321aaaa，它們均為正整數.這表明，對任意給定的，滿足條件并以為公比的等比lnlm

5、nnlmlm32231??mnqq數列的個數，即為滿足不等式的正整數的個數，即.4321aaaa1003?lnl]100[3n由于，故僅需考慮這些情況，相應的等比數列的個數為10053?3442332?q.20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[??????????當時，由對稱性可知，亦有20個滿足條件的等比數列.mn?4321aaaa綜上可知，共有40個滿足條件的有序數組.)(4321aaa

6、a5、（2017一試4）若一個三位數中任意兩個相鄰數碼的差均不超過1，則稱其為“平穩(wěn)數”.平穩(wěn)數的個數是.【答案】756、（2009二試3）設，是給定的兩個正整數證明：有無窮多個正整數，使得與互素klmk≥Ckml【解析】證法一：對任意正整數，令我們證明t(!)mktlk??????C1kml?，設是的任一素因子，只要證明：p|plCkm若p|k!，則由1!C()kkmikmki?????1[((!)]kiitlk????1kii???